Aturan Cosinus — Rumus, Pembuktian & Contoh

Gunakan aturan cosinus saat segitiga bukan segitiga siku-siku dan Anda mengetahui dua sisi beserta sudut apitnya atau ketiga sisinya. Untuk sisi $a$, $b$, $c$ yang berhadapan dengan sudut $A$, $B$, $C$, bentuk standarnya adalah

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Di sini, sisi $c$ berhadapan dengan sudut $C$, dan $C$ adalah sudut di antara sisi $a$ dan $b$. Pola yang sama juga berlaku untuk sisi lainnya:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Jika $C = 90^\circ$, maka $\cos C = 0$, sehingga rumusnya menjadi $c^2 = a^2 + b^2$. Itulah sebabnya aturan cosinus merupakan generalisasi dari Teorema Pythagoras.

Kapan menggunakan aturan cosinus

Bentuk yang paling umum adalah SAS: dua sisi dan sudut apit. Sudut apit berarti sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang diketahui tersebut.

Aturan ini juga berlaku untuk SSS: ketiga sisi diketahui, dan Anda ingin mencari sebuah sudut. Dalam kasus itu, susun ulang rumus terlebih dahulu sebelum menggunakan invers cosinus.

Jika Anda sudah mengetahui sebuah sisi dan sudut di depannya, aturan sinus sering kali menjadi alat pertama yang lebih baik.

Apa arti rumus ini

Jika dua sisi tetap, sisi ketiga bergantung pada sudut di antara keduanya.

Saat sudut apit membesar, sisi di depannya menjadi lebih panjang. Saat sudut mengecil, sisi di depannya menjadi lebih pendek. Suku $-2ab\cos C$ menyesuaikan jumlah sederhana $a^2 + b^2$ agar memperhitungkan sudut tersebut.

Suku koreksi itulah bagian yang perlu diingat. Tanpanya, Anda akan memperlakukan setiap segitiga seolah-olah merupakan segitiga siku-siku.

Contoh soal: mencari sebuah sisi

Misalkan sebuah segitiga memiliki sisi $a = 5$ dan $b = 7$, serta sudut apit $C = 60^\circ$. Carilah sisi $c$.

Karena $c$ berhadapan dengan sudut $C$ yang diketahui, gunakan

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Substitusikan nilainya:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Karena $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Jadi

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Jawaban ini masuk akal: sisi ketiga lebih panjang dari $5$ tetapi lebih pendek dari $7 + 5 = 12$, dan sudutnya sedang, bukan sangat besar.

Cara mencari sudut dari tiga sisi

Jika ketiga sisi diketahui, selesaikan dulu untuk cosinus:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Lalu hitung

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Ini hanya masuk akal jika $a$, $b$, dan $c$ membentuk segitiga yang valid. Jika nilai di dalam $\cos^{-1}$ berada di luar interval $[-1, 1]$, berarti ada kesalahan aljabar atau data pada langkah sebelumnya.

Ide pembuktian singkat

Salah satu pembuktian yang rapi berasal dari koordinat.

Letakkan satu sisi pada sumbu $x$. Misalkan satu titik sudut berada di $(0, 0)$ dan titik sudut lainnya di $(b, 0)$. Tempatkan titik sudut ketiga di $(a\cos C, a\sin C)$ karena titik itu berjarak $a$ dari titik asal dan membentuk sudut $C$ terhadap sumbu $x$.

Sekarang gunakan rumus jarak antara $(b, 0)$ dan $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Kembangkan:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Lalu gunakan

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

untuk menggabungkan dua suku terakhir:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Itulah aturan cosinus.

Kesalahan yang sering terjadi

Mencocokkan sisi dan sudut yang salah

Sudut dalam rumus harus berhadapan dengan sisi di ruas kiri persamaan. Jika Anda menggunakan sudut $C$, maka ruas kirinya harus $c^2$.

Menggunakan rumus seolah-olah setiap segitiga adalah segitiga siku-siku

Jika sudutnya bukan $90^\circ$, Anda tidak boleh menghilangkan suku $-2ab\cos C$.

Lupa mode kalkulator

Jika soal menggunakan derajat, kalkulator Anda harus dalam mode derajat. Jika menggunakan radian, gunakan mode radian.

Mencari sudut tanpa mengisolasi cosinus dengan cermat

Saat ketiga sisi diketahui, susun ulang dulu, lalu gunakan invers cosinus. Kesalahan aljabar kecil di sini bisa membuat hasil sudut akhir meleset jauh.

Di mana aturan cosinus digunakan

Aturan cosinus umum digunakan dalam geometri, trigonometri, survei, navigasi, dan masalah apa pun yang membutuhkan jarak pada segitiga yang bukan siku-siku.

Dalam matematika sekolah, dua penggunaan utamanya adalah:

• mencari sisi yang belum diketahui dari dua sisi dan sudut apit
• mencari sudut yang belum diketahui dari ketiga sisi

Jika Anda sudah memiliki segitiga siku-siku, Teorema Pythagoras biasanya merupakan versi yang lebih sederhana. Jika Anda mengetahui sudut beserta pasangan sisinya, aturan sinus mungkin lebih cocok.

Coba versi Anda sendiri

Ambil $a = 8$, $b = 11$, dan $C = 30^\circ$, lalu carilah $c$. Setelah itu, ubah $C$ menjadi $120^\circ$ dan bandingkan hasilnya. Melihat sisi di depan sudut bertambah panjang adalah salah satu cara tercepat untuk membuat rumus ini terasa intuitif.

Jika Anda ingin umpan balik langkah demi langkah dengan angka Anda sendiri, jelajahi segitiga serupa di GPAI Solver.