Ley de cosenos — fórmula, demostración y ejemplos

Usa la ley de cosenos cuando un triángulo no es rectángulo y conoces dos lados con el ángulo comprendido, o bien los tres lados. Para los lados $a$, $b$, $c$ opuestos a los ángulos $A$, $B$, $C$, la forma estándar es

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Aquí, el lado $c$ está opuesto al ángulo $C$, y $C$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$. El mismo patrón funciona para los otros lados:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Si $C = 90^\circ$, entonces $\cos C = 0$, así que la fórmula se convierte en $c^2 = a^2 + b^2$. Por eso la ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras.

Cuándo usar la ley de cosenos

La situación más común es LAL: dos lados y el ángulo comprendido. El ángulo comprendido es el ángulo formado por esos dos lados conocidos.

También funciona para LLL: se conocen los tres lados y quieres hallar un ángulo. En ese caso, reorganiza la fórmula antes de usar el coseno inverso.

Si ya conoces un lado y su ángulo opuesto, la ley de senos suele ser la mejor herramienta para empezar.

Qué significa la fórmula

Si dos lados se mantienen fijos, el tercer lado depende del ángulo entre ellos.

Cuando el ángulo comprendido aumenta, el lado opuesto se hace más largo. Cuando el ángulo disminuye, el lado opuesto se hace más corto. El término $-2ab\cos C$ ajusta la suma simple $a^2 + b^2$ para tener en cuenta ese ángulo.

Ese término de corrección es la parte que conviene recordar. Sin él, estarías tratando todos los triángulos como si fueran rectángulos.

Ejemplo resuelto: hallar un lado

Supón que un triángulo tiene lados $a = 5$ y $b = 7$, y el ángulo comprendido es $C = 60^\circ$. Halla el lado $c$.

Como $c$ está opuesto al ángulo conocido $C$, usa

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Sustituye los valores:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Como $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Entonces

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Esa respuesta tiene sentido: el tercer lado es mayor que $5$ pero menor que $7 + 5 = 12$, y el ángulo es moderado, no extremadamente grande.

Cómo hallar un ángulo a partir de tres lados

Si se conocen los tres lados, primero despeja el coseno:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Luego calcula

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Esto solo tiene sentido cuando $a$, $b$ y $c$ forman un triángulo válido. Si el valor dentro de $\cos^{-1}$ queda fuera del intervalo $[-1, 1]$, hubo antes un error de álgebra o en los datos.

Una idea breve de la demostración

Una demostración clara sale de las coordenadas.

Coloca un lado sobre el eje $x$. Haz que un vértice esté en $(0, 0)$ y otro en $(b, 0)$. Sitúa el tercer vértice en $(a\cos C, a\sin C)$ porque ese punto está a distancia $a$ del origen y forma un ángulo $C$ con el eje $x$.

Ahora usa la fórmula de la distancia entre $(b, 0)$ y $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Desarrolla:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Luego usa

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

para combinar los dos últimos términos:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Esa es la ley de cosenos.

Errores comunes

Hacer coincidir mal el lado y el ángulo

El ángulo de la fórmula debe estar opuesto al lado que aparece en el lado izquierdo de la ecuación. Si usas el ángulo $C$, entonces el lado izquierdo debe ser $c^2$.

Usar la fórmula como si todo triángulo fuera rectángulo

Si el ángulo no es $90^\circ$, no puedes eliminar el término $-2ab\cos C$.

Olvidar el modo de la calculadora

Si el problema da grados, tu calculadora debe estar en modo grados. Si da radianes, usa el modo radianes.

Hallar un ángulo sin despejar con cuidado el coseno

Cuando se conocen los tres lados, primero reorganiza la fórmula y luego usa el coseno inverso. Un pequeño error algebraico ahí puede desviar mucho el ángulo final.

Dónde se usa la ley de cosenos

La ley de cosenos es común en geometría, trigonometría, topografía, navegación y en cualquier problema donde necesites distancias en un triángulo no rectángulo.

En matemáticas escolares, los dos usos principales son:

• hallar un lado faltante a partir de dos lados y el ángulo comprendido
• hallar un ángulo faltante a partir de los tres lados

Si ya tienes un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras suele ser la versión más simple. Si en cambio conoces ángulos junto con un par lado-ángulo, la ley de senos puede encajar mejor.

Prueba tu propia versión

Toma $a = 8$, $b = 11$ y $C = 30^\circ$, y luego halla $c$. Después cambia $C$ a $120^\circ$ y compara el resultado. Ver cómo crece el lado opuesto es una de las formas más rápidas de hacer que la fórmula se vuelva intuitiva.

Si quieres retroalimentación paso a paso con tus propios números, explora un triángulo similar en GPAI Solver.