Diện tích tam giác — Tất cả công thức kèm ví dụ

Để tính diện tích tam giác, hãy dùng công thức phù hợp với dữ kiện bạn có. Nếu bài toán cho đáy $b$ và chiều cao vuông góc $h$, công thức chính là

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Nếu không cho chiều cao, bạn vẫn có thể tính cùng diện tích đó từ hai cạnh và góc xen giữa, từ độ dài ba cạnh, hoặc từ tọa độ. Điều quan trọng là chọn công thức có điều kiện thật sự phù hợp với tam giác.

Vì sao công thức diện tích tam giác có $\frac{1}{2}$

Một tam giác có đáy $b$ và chiều cao $h$ có diện tích bằng một nửa hình chữ nhật hoặc hình bình hành được dựng trên cùng đáy và cùng chiều cao. Đó là lý do xuất hiện hệ số $\frac{1}{2}$.

Điều kiện rất quan trọng: $h$ phải vuông góc với đáy bạn chọn. Một cạnh nghiêng không phải là chiều cao nếu nó không tạo với đáy một góc vuông.

Các công thức diện tích tam giác và khi nào dùng từng công thức

Đáy và chiều cao vuông góc

Dùng công thức này khi biết một đáy và chiều cao tương ứng của nó.

$$A = \frac{1}{2}bh$$

Đây là công thức trực tiếp nhất và thường cũng là cách nhanh nhất.

Hai cạnh và góc xen giữa

Dùng công thức này khi bạn biết hai cạnh $a$ và $b$ cùng góc $C$ nằm giữa chúng.

$$A = \frac{1}{2}ab\sin C$$

Công thức này đúng vì chiều cao ứng với cạnh $b$ là $a\sin C$.

Công thức Heron

Dùng công thức này khi bạn biết cả ba cạnh $a$, $b$ và $c$, nhưng không biết chiều cao.

$$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Ở đây, $s$ là nửa chu vi. Công thức này hữu ích khi biết độ dài các cạnh nhưng không có góc hay đường cao.

Công thức tọa độ

Dùng công thức này khi tam giác được cho bởi các điểm $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ và $(x_3,y_3)$ trên mặt phẳng tọa độ.

$$A = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Giá trị tuyệt đối rất quan trọng vì diện tích không thể âm.

Công thức tam giác đều

Chỉ dùng công thức này khi cả ba cạnh bằng nhau và mỗi cạnh có độ dài $a$.

$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Đây là một trường hợp đặc biệt, không phải công thức tổng quát cho mọi tam giác.

Ví dụ có lời giải: diện tích tam giác $3$-$4$-$5$

Giả sử một tam giác có độ dài ba cạnh là $3$, $4$ và $5$. Vì $3^2 + 4^2 = 5^2$, đây là tam giác vuông, nên hai cạnh có độ dài $3$ và $4$ vuông góc với nhau. Vì vậy, đây là đáy và chiều cao dễ dùng nhất.

Đặt $b = 4$ và $h = 3$.

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(4)(3) = 6$$

Vậy diện tích là $6$ đơn vị vuông.

Nếu muốn kiểm tra lại, công thức Heron cũng cho cùng kết quả:

$$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$A = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6$$

Điều cần rút ra không phải là lúc nào bạn cũng phải dùng mọi công thức. Điều quan trọng là các công thức khác nhau sẽ cho cùng một diện tích khi điều kiện của chúng được thỏa mãn.

Những lỗi thường gặp khi tính diện tích tam giác

Lỗi phổ biến nhất là lấy một cạnh làm chiều cao mà không kiểm tra xem nó có vuông góc với đáy đã chọn hay không.

Một lỗi khác là dùng $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ với một góc không nằm giữa hai cạnh $a$ và $b$. Trong công thức này, góc phải là góc xen giữa.

Với công thức Heron, học sinh thường quên tính nửa chu vi trước hoặc nhầm $s$ với chu vi đầy đủ. Những sai sót nhỏ trong tính toán cũng rất quan trọng vì mọi thứ đều nằm trong căn bậc hai.

Với bài toán tọa độ, quên lấy giá trị tuyệt đối có thể cho ra số âm, mà diện tích thì không thể âm.

Khi nào mỗi công thức diện tích tam giác hữu ích

Dùng $A = \frac{1}{2}bh$ trong hình học cơ bản, bản vẽ xây dựng và mọi bài toán mà đường cao dễ nhìn ra hoặc dễ tính.

Dùng $A = \frac{1}{2}ab\sin C$ trong lượng giác và các bài toán kiểu đo đạc khi biết hai cạnh và một góc.

Dùng công thức Heron khi biết cả ba cạnh và việc đưa thêm chiều cao vào sẽ rườm rà.

Dùng công thức tọa độ trong hình học giải tích, bài toán trên hệ trục và các trường hợp tam giác được xác định bởi các đỉnh thay vì dữ kiện cạnh và chiều cao.

Chỉ dùng công thức tam giác đều khi tam giác là tam giác đều. Nếu tam giác chỉ là tam giác cân, cách rút gọn đó không tự động áp dụng.

Cách chọn nhanh công thức phù hợp

Nếu biết đáy và chiều cao vuông góc, dùng $A = \frac{1}{2}bh$.

Nếu biết hai cạnh và góc giữa chúng, dùng $A = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Nếu biết cả ba cạnh, dùng công thức Heron.

Nếu biết tọa độ, dùng công thức tọa độ.

Nếu tam giác là tam giác đều, bạn có thể dùng công thức rút gọn đặc biệt.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự thử với một tam giác có các cạnh là $5$, $12$ và $13$. Trước hết, hãy nhận ra đó là loại tam giác gì, rồi tìm diện tích theo cách nhanh nhất. Sau đó, giải lại bằng công thức Heron và kiểm tra xem hai đáp án có trùng nhau không.