Lei dos Cossenos — Fórmula, Demonstração e Exemplos

Use a lei dos cossenos quando um triângulo não for retângulo e você conhecer dois lados com o ângulo entre eles ou os três lados. Para os lados $a$, $b$, $c$ opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$, a forma padrão é

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Aqui, o lado $c$ está oposto ao ângulo $C$, e $C$ é o ângulo entre os lados $a$ e $b$. O mesmo padrão funciona para os outros lados:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Se $C = 90^\circ$, então $\cos C = 0$, então a fórmula se torna $c^2 = a^2 + b^2$. É por isso que a lei dos cossenos é uma generalização do teorema de Pitágoras.

Quando usar a lei dos cossenos

A configuração mais comum é LAL: dois lados e o ângulo entre eles. O ângulo entre eles é o ângulo formado por esses dois lados conhecidos.

Ela também funciona para LLL: os três lados são conhecidos, e você quer encontrar um ângulo. Nesse caso, reorganize a fórmula antes de usar o cosseno inverso.

Se você já conhece um lado e seu ângulo oposto, a lei dos senos costuma ser a melhor primeira ferramenta.

O que a fórmula significa

Se dois lados permanecem fixos, o terceiro lado depende do ângulo entre eles.

Quando o ângulo entre os lados aumenta, o lado oposto fica maior. Quando o ângulo diminui, o lado oposto fica menor. O termo $-2ab\cos C$ ajusta a soma simples $a^2 + b^2$ para levar esse ângulo em conta.

Esse termo de correção é a parte que as pessoas devem lembrar. Sem ele, você estaria tratando todo triângulo como se fosse retângulo.

Exemplo resolvido: encontrar um lado

Suponha que um triângulo tenha lados $a = 5$ e $b = 7$, e que o ângulo entre eles seja $C = 60^\circ$. Encontre o lado $c$.

Como $c$ está oposto ao ângulo conhecido $C$, use

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Substitua os valores:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Como $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Então

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Essa resposta faz sentido: o terceiro lado é maior que $5$, mas menor que $7 + 5 = 12$, e o ângulo é moderado, não extremamente grande.

Como encontrar um ângulo a partir de três lados

Se os três lados forem conhecidos, primeiro isole o cosseno:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Depois calcule

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Isso só faz sentido quando $a$, $b$ e $c$ formam um triângulo válido. Se o valor dentro de $\cos^{-1}$ estiver fora do intervalo $[-1, 1]$, houve um erro anterior nos dados ou na álgebra.

Uma ideia curta de demonstração

Uma demonstração elegante vem das coordenadas.

Coloque um lado sobre o eixo $x$. Faça um vértice em $(0, 0)$ e outro em $(b, 0)$. Coloque o terceiro vértice em $(a\cos C, a\sin C)$ porque esse ponto está a uma distância $a$ da origem e forma ângulo $C$ com o eixo $x$.

Agora use a fórmula da distância entre $(b, 0)$ e $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Expanda:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Depois use

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

para combinar os dois últimos termos:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Essa é a lei dos cossenos.

Erros comuns

Relacionar o lado e o ângulo errados

O ângulo na fórmula deve estar oposto ao lado que aparece no lado esquerdo da equação. Se você usar o ângulo $C$, então o lado esquerdo deve ser $c^2$.

Usar a fórmula como se todo triângulo fosse retângulo

Se o ângulo não for $90^\circ$, você não pode eliminar o termo $-2ab\cos C$.

Esquecer o modo da calculadora

Se o problema estiver em graus, sua calculadora deve estar no modo graus. Se estiver em radianos, use o modo radianos.

Resolver um ângulo sem isolar o cosseno com cuidado

Quando os três lados são conhecidos, reorganize primeiro e depois use o cosseno inverso. Um pequeno erro algébrico aí pode alterar bastante o ângulo final.

Onde a lei dos cossenos é usada

A lei dos cossenos é comum em geometria, trigonometria, topografia, navegação e em qualquer problema em que você precise de distâncias em um triângulo não retângulo.

Na matemática escolar, os dois usos principais são:

• encontrar um lado que falta a partir de dois lados e do ângulo entre eles
• encontrar um ângulo que falta a partir dos três lados

Se você já tiver um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras geralmente é a versão mais simples. Se você conhecer ângulos junto com um par lado-ângulo, a lei dos senos pode ser mais adequada.

Tente sua própria versão

Use $a = 8$, $b = 11$ e $C = 30^\circ$, depois encontre $c$. Depois disso, mude $C$ para $120^\circ$ e compare o resultado. Observar o lado oposto crescer é uma das formas mais rápidas de tornar a fórmula intuitiva.

Se você quiser um passo a passo com seus próprios números, explore um triângulo semelhante no GPAI Solver.