Kosinussatz — Formel, Beweis & Beispiele

Verwende den Kosinussatz, wenn ein Dreieck nicht rechtwinklig ist und du entweder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel oder alle drei Seiten kennst. Für die Seiten $a$, $b$, $c$ gegenüber den Winkeln $A$, $B$, $C$ lautet die Standardform

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Hier liegt die Seite $c$ dem Winkel $C$ gegenüber, und $C$ ist der Winkel zwischen den Seiten $a$ und $b$. Dasselbe Muster gilt auch für die anderen Seiten:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Wenn $C = 90^\circ$ ist, dann gilt $\cos C = 0$, also wird die Formel zu $c^2 = a^2 + b^2$. Deshalb ist der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.

Wann man den Kosinussatz verwendet

Der häufigste Fall ist SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel, der von diesen beiden bekannten Seiten gebildet wird.

Er funktioniert auch für SSS: Alle drei Seiten sind bekannt, und du möchtest einen Winkel berechnen. In diesem Fall stellst du die Formel zuerst um, bevor du den Arkuskosinus verwendest.

Wenn du bereits eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst, ist der Sinussatz oft das bessere erste Werkzeug.

Was die Formel bedeutet

Wenn zwei Seiten fest bleiben, hängt die dritte Seite vom Winkel zwischen ihnen ab.

Wird der eingeschlossene Winkel größer, wird die gegenüberliegende Seite länger. Wird der Winkel kleiner, wird die gegenüberliegende Seite kürzer. Der Term $-2ab\cos C$ korrigiert die einfache Summe $a^2 + b^2$, damit dieser Winkel berücksichtigt wird.

Genau diesen Korrekturterm sollte man sich merken. Ohne ihn würdest du jedes Dreieck wie ein rechtwinkliges Dreieck behandeln.

Beispielrechnung: eine Seite finden

Angenommen, ein Dreieck hat die Seiten $a = 5$ und $b = 7$, und der eingeschlossene Winkel ist $C = 60^\circ$. Bestimme die Seite $c$.

Da $c$ dem bekannten Winkel $C$ gegenüberliegt, verwenden wir

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Setze die Werte ein:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Da $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ gilt,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Also ist

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Diese Antwort ist plausibel: Die dritte Seite ist länger als $5$, aber kürzer als $7 + 5 = 12$, und der Winkel ist mittelgroß statt extrem groß.

Wie man aus drei Seiten einen Winkel berechnet

Wenn alle drei Seiten bekannt sind, löse zuerst nach dem Kosinus auf:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Berechne dann

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Das ergibt nur Sinn, wenn $a$, $b$ und $c$ ein gültiges Dreieck bilden. Wenn der Wert innerhalb von $\cos^{-1}$ außerhalb des Intervalls $[-1, 1]$ liegt, steckt vorher ein Fehler in den Daten oder in der Umformung.

Eine kurze Beweisidee

Ein eleganter Beweis kommt aus der Koordinatengeometrie.

Lege eine Seite auf die $x$-Achse. Sei ein Eckpunkt bei $(0, 0)$ und ein anderer bei $(b, 0)$. Setze den dritten Eckpunkt auf $(a\cos C, a\sin C)$, denn dieser Punkt hat den Abstand $a$ vom Ursprung und bildet mit der $x$-Achse den Winkel $C$.

Verwende nun die Abstandsformel zwischen $(b, 0)$ und $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Ausmultiplizieren ergibt:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Dann nutzt man

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

um die letzten beiden Terme zusammenzufassen:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Das ist der Kosinussatz.

Häufige Fehler

Falsche Seite und falschen Winkel zuordnen

Der Winkel in der Formel muss der Seite auf der linken Seite der Gleichung gegenüberliegen. Wenn du den Winkel $C$ verwendest, muss links also $c^2$ stehen.

Die Formel so benutzen, als wäre jedes Dreieck rechtwinklig

Wenn der Winkel nicht $90^\circ$ ist, darfst du den Term $-2ab\cos C$ nicht weglassen.

Den Taschenrechnermodus vergessen

Wenn die Aufgabe Winkel in Grad angibt, muss dein Taschenrechner im Gradmodus sein. Wenn sie im Bogenmaß angegeben sind, verwende den Bogenmaßmodus.

Einen Winkel berechnen, ohne den Kosinus sauber zu isolieren

Wenn alle drei Seiten bekannt sind, stelle zuerst um und verwende dann den Arkuskosinus. Ein kleiner Algebrafehler an dieser Stelle kann den Endwinkel stark verfälschen.

Wo der Kosinussatz verwendet wird

Der Kosinussatz ist in Geometrie, Trigonometrie, Vermessung, Navigation und in allen Aufgaben üblich, in denen du Abstände in einem nicht rechtwinkligen Dreieck brauchst.

In der Schulmathematik gibt es zwei Hauptanwendungen:

• eine fehlende Seite aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnen
• einen fehlenden Winkel aus allen drei Seiten berechnen

Wenn du bereits ein rechtwinkliges Dreieck hast, ist der Satz des Pythagoras meist die einfachere Variante. Wenn du stattdessen Winkel zusammen mit einem Seitenpaar kennst, passt der Sinussatz möglicherweise besser.

Probiere deine eigene Variante

Nimm $a = 8$, $b = 11$ und $C = 30^\circ$ und berechne dann $c$. Ändere danach $C$ zu $120^\circ$ und vergleiche das Ergebnis. Zu beobachten, wie die gegenüberliegende Seite wächst, ist eine der schnellsten Möglichkeiten, ein Gefühl für die Formel zu bekommen.

Wenn du Schritt-für-Schritt-Feedback mit deinen eigenen Zahlen möchtest, erkunde ein ähnliches Dreieck im GPAI Solver.