Tích phân từng phần — Công thức & Ví dụ

Tích phân từng phần giúp bạn tính các tích phân của tích như $x e^x$ hoặc $x \ln x$ khi một thừa số trở nên đơn giản hơn sau khi lấy đạo hàm. Mục tiêu không phải là dùng một công thức “cao siêu” chỉ để áp dụng công thức. Mục tiêu là biến tích phân ban đầu thành một tích phân dễ hơn.

Phương pháp này xuất phát từ việc đảo ngược quy tắc đạo hàm của tích. Nếu tích phân mới không đơn giản hơn, thì tích phân từng phần có lẽ không phải là lựa chọn đúng.

Công Thức Tích Phân Từng Phần

Nếu bạn chọn một hàm $u$ và một phần vi phân $dv$, thì

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Đây là công thức tích phân từng phần. Nó chỉ hữu ích khi tích phân mới $\int v\,du$ dễ hơn tích phân ban đầu.

Vì Sao Công Thức Đúng

Bắt đầu với quy tắc đạo hàm của tích viết dưới dạng vi phân:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Lấy tích phân hai vế theo $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Suy ra

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

và biến đổi lại ta được

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Bạn không cần tự suy ra lại công thức này mỗi lần, nhưng đó là lý do vì sao có dấu trừ.

Cách Chọn $u$ Và $dv$

Hãy chọn $u$ là phần trở nên đơn giản hơn sau khi lấy đạo hàm. Chọn $dv$ là phần mà bạn có thể lấy tích phân mà không gặp nhiều khó khăn.

Một mẹo thường dùng là LIATE: logarithmic, inverse trig, algebraic, trig, exponential. Đây chỉ là một gợi ý chứ không phải quy tắc cứng, nhưng nó thường hữu ích khi có nhiều cách chọn đều có vẻ hợp lý.

Trong thực tế, tích phân từng phần thường xuất hiện khi bạn thấy:

• một đa thức nhân với $e^x$ hoặc một hàm lượng giác,
• một logarit như $\ln x$, thường được xem là $\ln x \cdot 1$,
• một hàm lượng giác ngược như $\arctan x$.

Cách kiểm tra nhanh tốt nhất là thế này: sau khi chọn $u$, hãy hỏi liệu $du$ có rõ ràng là đơn giản hơn không. Nếu câu trả lời là không, hãy thử một cách chọn khác.

Ví Dụ Giải Chi Tiết: $\int x \ln x\,dx$

Đây là một ví dụ kinh điển vì $\ln x$ trở nên đơn giản hơn nhiều khi lấy đạo hàm. Viết lại biểu thức dưới dấu tích phân dưới dạng một tích:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

Điều kiện xác định rất quan trọng ở đây: $\ln x$ được xác định khi $x > 0$, nên ta làm việc trên miền đó.

Chọn

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Khi đó

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Áp dụng công thức:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Rút gọn tích phân còn lại:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Sau đó lấy tích phân:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Vậy đáp án cuối cùng là

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Hãy lấy đạo hàm kết quả để kiểm tra:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Cách kiểm tra này là cách nhanh nhất để phát hiện lỗi dấu.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Dùng Tích Phân Từng Phần

1. Chọn $u$ và $dv$ sao cho tích phân mới còn khó hơn tích phân ban đầu.
2. Quên dấu trừ trong $uv - \int v\,du$.
3. Lấy đạo hàm của $u$ đúng nhưng lấy tích phân của $dv$ sai.
4. Quên rằng một số biểu thức, như $\ln x$, đi kèm với điều kiện xác định.
5. Cho rằng mọi tích đều phải dùng tích phân từng phần. Đôi khi phép đổi biến hoặc một quy tắc cơ bản sẽ tốt hơn.

Khi Nào Tích Phân Từng Phần Hữu Ích

Hãy dùng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân có cấu trúc trở nên tốt hơn sau một bước lấy đạo hàm. Các trường hợp điển hình gồm:

• đa thức nhân hàm mũ, như $\int x e^x\,dx$,
• đa thức nhân hàm lượng giác, như $\int x \cos x\,dx$,
• logarit hoặc hàm lượng giác ngược nhân với $1$ hoặc một thừa số đơn giản khác.

Nếu phương pháp này không làm tích phân đơn giản hơn, hãy dừng lại và xem xét lại. Tích phân từng phần hữu ích vì nó làm giảm độ phức tạp, chứ không phải vì công thức có thể được áp dụng một cách máy móc.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử

$$\int x \sin x\,dx$$

Dùng cùng quy trình ra quyết định: chọn phần trở nên đơn giản hơn khi lấy đạo hàm, áp dụng công thức một lần, rồi lấy đạo hàm đáp án của bạn để kiểm tra.