Tích phân — Quy tắc và ví dụ

Tích phân có thể mang nghĩa là tìm nguyên hàm hoặc cộng dồn sự thay đổi. Trong hầu hết các bài toán giải tích nhập môn, “tính tích phân của hàm này” có nghĩa là: tìm một hàm có đạo hàm bằng hàm dưới dấu tích phân.

Với tích phân bất định,

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

nghĩa là $F'(x) = f(x)$. Số hạng $+C$ rất quan trọng vì hai nguyên hàm của cùng một hàm số có thể khác nhau một hằng số.

Nếu tích phân có cận, chẳng hạn $\int_a^b f(x)\,dx$, thì nó mô tả lượng tích lũy ròng trên khoảng $[a,b]$. Trong hình học, điều này thường biểu diễn diện tích có dấu. Trong các ứng dụng, nó có thể biểu diễn một đại lượng được tích lũy theo thời gian.

Nên thử quy tắc tích phân nào trước?

Hãy bắt đầu bằng cách nhìn vào dạng của hàm dưới dấu tích phân.

• Nếu hàm dưới dấu tích phân là một tổng hoặc hiệu, hãy lấy tích phân từng hạng tử.
• Nếu có một hằng số nhân, hãy đưa hằng số ra ngoài.
• Nếu biểu thức khớp với một mẫu chuẩn, hãy dùng quy tắc nguyên hàm tương ứng.
• Nếu hàm dưới dấu tích phân là một tích, thương hoặc hợp hàm, thì các quy tắc cơ bản có thể là chưa đủ.

Điều này quan trọng vì tích phân kém máy móc hơn đạo hàm. Không có một quy tắc duy nhất nào xử lý trực tiếp mọi biểu thức.

Những quy tắc tích phân cơ bản bạn nên biết

Quy tắc nhân hằng số và quy tắc tổng

Nếu $a$ và $b$ là các hằng số, thì:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Đó là lý do vì sao có thể lấy tích phân từng hạng tử.

Quy tắc lũy thừa

Nếu $n \ne -1$, thì:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Ví dụ: $\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$.

Trường hợp đặc biệt $\int \frac{1}{x}\,dx$

Khi số mũ là $-1$, quy tắc lũy thừa không áp dụng được. Thay vào đó,

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Dấu giá trị tuyệt đối rất quan trọng vì $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ với $x \ne 0$.

Một số nguyên hàm chuẩn thường gặp

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Bạn nên nhận ra ngay các công thức này vì chúng xuất hiện rất thường xuyên trong các bài tích phân cơ bản.

Vì sao tích phân giống như làm ngược lại phép đạo hàm?

Đạo hàm đặt câu hỏi: “Hàm số này đang thay đổi như thế nào ngay lúc này?” Tích phân đặt câu hỏi ngược lại: “Hàm nào có thể tạo ra tốc độ thay đổi này?”

Đó là lý do vì sao việc kiểm tra một tích phân bằng cách lấy đạo hàm của đáp án lại rất hữu ích. Nếu đạo hàm đưa bạn trở lại đúng hàm ban đầu dưới dấu tích phân, thì nguyên hàm là đúng.

Ví dụ về tích phân: kết hợp ba quy tắc cơ bản

Tính

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

Đây là một tổng, nên ta lấy tích phân từng hạng tử riêng.

Với hạng tử thứ nhất, dùng quy tắc lũy thừa:

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

Với hạng tử thứ hai, dùng trường hợp logarit đặc biệt:

$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\ln|x|$$

Với hạng tử thứ ba, dùng quy tắc lượng giác chuẩn:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

Bây giờ gộp các kết quả lại:

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C$$

Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x$$

Cách kiểm tra này đặc biệt tốt để phát hiện lỗi sai dấu và quên hằng số.

Những lỗi thường gặp khi tính tích phân

1. Quên $+C$ trong tích phân bất định.
2. Dùng quy tắc lũy thừa cho $x^{-1}$. Trường hợp đó là $\ln|x| + C$, không phải kết quả từ quy tắc lũy thừa.
3. Tách một tích như thể $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \int g(x)\,dx$. Nói chung, điều đó là sai.
4. Áp dụng ngược một công thức đạo hàm mà không kiểm tra dấu. Ví dụ, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.

Khi nào dùng tích phân xác định?

Tích phân xuất hiện bất cứ khi nào một đại lượng được tạo thành từ nhiều thay đổi nhỏ cộng lại.

• Trong hình học, tích phân xác định có thể biểu diễn diện tích có dấu dưới một đường cong.
• Trong vật lý, lấy tích phân của vận tốc cho ta độ dời trên một khoảng.
• Trong kinh tế học hoặc kỹ thuật, tích phân có thể mô hình hóa chi phí tích lũy, tăng trưởng hoặc lưu lượng.

Điều kiện cụ thể rất quan trọng. Ví dụ, nếu vận tốc đổi dấu, thì tích phân của vận tốc cho độ dời ròng chứ không phải tổng quãng đường.

Khi nào các quy tắc cơ bản không còn hiệu quả?

Các quy tắc cơ bản hoạt động tốt khi hàm dưới dấu tích phân đã khớp với một mẫu quen thuộc. Nếu không, bạn có thể cần phép đổi biến, tích phân từng phần hoặc một kỹ thuật khác.

Đây là một điểm dừng hữu ích: nếu công thức không khớp một cách rõ ràng, đừng cố ép dùng nó.

Hãy thử một tích phân tương tự

Hãy thử

$$\int \left(5x^2 + \frac{3}{x} - 4\sin x\right)\,dx$$

Sau đó lấy đạo hàm của đáp án để kiểm tra. Nếu bạn giải thích được vì sao hạng tử ở giữa trở thành một logarit, thì bạn đã hiểu ngoại lệ quan trọng của quy tắc lũy thừa.