Partielle Integration — Formel & Beispiele

Die partielle Integration hilft dir, Produkte wie $x e^x$ oder $x \ln x$ zu integrieren, wenn ein Faktor durch Ableiten einfacher wird. Es geht nicht darum, eine schicke Formel um ihrer selbst willen anzuwenden. Das Ziel ist, das ursprüngliche Integral in ein einfacheres zu verwandeln.

Sie entsteht durch Umkehrung der Produktregel. Wenn das neue Integral nicht einfacher ist, ist partielle Integration wahrscheinlich nicht die richtige Methode.

Formel der partiellen Integration

Wenn du eine Funktion $u$ und einen Differentialteil $dv$ wählst, dann gilt

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Das ist die Formel der partiellen Integration. Sie ist nur dann nützlich, wenn das neue Integral $\int v\,du$ einfacher ist als das ursprüngliche.

Warum die Formel funktioniert

Beginne mit der Produktregel in Differentialform:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Integriere beide Seiten nach $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Also gilt

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

und durch Umstellen erhältst du

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Du musst das nicht jedes Mal neu herleiten, aber deshalb steht dort das Minuszeichen.

Wie man $u$ und $dv$ wählt

Wähle $u$ als den Teil, der durch Ableiten einfacher wird. Wähle $dv$ als den Teil, den du ohne große Mühe integrieren kannst.

Eine verbreitete Faustregel ist LIATE: logarithmisch, inverse trigonometrisch, algebraisch, trigonometrisch, exponentiell. Sie ist nur eine Orientierung, keine feste Regel, hilft aber oft, wenn mehrere Möglichkeiten sinnvoll erscheinen.

In der Praxis ist partielle Integration häufig sinnvoll, wenn du Folgendes siehst:

• ein Polynom mal $e^x$ oder eine trigonometrische Funktion,
• einen Logarithmus wie $\ln x$, oft geschrieben als $\ln x \cdot 1$,
• eine inverse trigonometrische Funktion wie $\arctan x$.

Die beste schnelle Kontrolle ist: Frage dich nach der Wahl von $u$, ob $du$ klar einfacher ist. Wenn die Antwort nein ist, probiere eine andere Wahl.

Durchgerechnetes Beispiel: $\int x \ln x\,dx$

Das ist ein Standardbeispiel, weil $\ln x$ durch Ableiten deutlich einfacher wird. Schreibe den Integranden als Produkt um:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

Die Bedingung ist hier wichtig: $\ln x$ ist nur für $x > 0$ definiert, also arbeiten wir auf diesem Definitionsbereich.

Wähle

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Dann gilt

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Wende die Formel an:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Vereinfache das verbleibende Integral:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Dann integriere:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Also ist das Endergebnis

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Leite das Ergebnis zur Kontrolle ab:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Diese Kontrolle ist der schnellste Weg, um Vorzeichenfehler zu finden.

Häufige Fehler bei der partiellen Integration

1. $u$ und $dv$ so zu wählen, dass das neue Integral schwieriger ist als das ursprüngliche.
2. Das Minuszeichen in $uv - \int v\,du$ zu vergessen.
3. $u$ richtig abzuleiten, aber $dv$ falsch zu integrieren.
4. Zu vergessen, dass manche Ausdrücke wie $\ln x$ Bedingungen an den Definitionsbereich haben.
5. Anzunehmen, dass jedes Produkt mit partieller Integration gelöst werden sollte. Manchmal sind Substitution oder eine Grundregel besser.

Wann partielle Integration nützlich ist

Verwende diese Methode, wenn der Integrand eine Struktur hat, die nach einem Ableitungsschritt einfacher wird. Typische Fälle sind:

• Polynom mal Exponentialfunktion, etwa $\int x e^x\,dx$,
• Polynom mal trigonometrische Funktion, etwa $\int x \cos x\,dx$,
• Logarithmen oder inverse trigonometrische Funktionen, multipliziert mit $1$ oder einem anderen einfachen Faktor.

Wenn die Methode das Integral nicht vereinfacht, halte an und prüfe die Wahl noch einmal. Partielle Integration ist nützlich, weil sie Komplexität reduziert, nicht weil man die Formel mechanisch anwenden kann.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche

$$\int x \sin x\,dx$$

Nutze denselben Entscheidungsprozess: Wähle den Teil, der durch Ableiten einfacher wird, wende die Formel einmal an und leite dann dein Ergebnis ab, um es zu überprüfen.