부분적분 — 공식과 예제

부분적분은 $x e^x$나 $x \ln x$처럼 곱의 형태인 함수를 적분할 때, 한 인수를 미분하면 더 단순해지는 경우에 도움이 됩니다. 중요한 것은 공식을 억지로 쓰는 것이 아닙니다. 원래 적분을 더 쉬운 적분으로 바꾸는 것이 목적입니다.

이 방법은 곱의 미분법을 거꾸로 적용한 것입니다. 새로 생긴 적분이 더 단순해지지 않는다면, 부분적분은 아마 적절한 선택이 아닙니다.

부분적분 공식

함수 $u$와 미분 부분 $dv$를 정하면,

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

이 식이 부분적분 공식입니다. 새 적분 $\int v\,du$가 원래 적분보다 쉬울 때만 유용합니다.

왜 이 공식이 성립할까

먼저 곱의 미분법을 미분형으로 쓰면 다음과 같습니다:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

양변을 $x$에 대해 적분하면,

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

따라서

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

이고, 이를 정리하면

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

매번 다시 유도할 필요는 없지만, 마이너스 부호가 왜 붙는지는 이렇게 이해할 수 있습니다.

$u$와 $dv$는 어떻게 고를까

$u$는 미분했을 때 더 단순해지는 부분으로 고릅니다. $dv$는 큰 어려움 없이 적분할 수 있는 부분으로 고릅니다.

자주 쓰이는 경험적 기준으로 LIATE가 있습니다: 로그함수, 역삼각함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수 순서입니다. 절대적인 규칙은 아니고 하나의 가이드일 뿐이지만, 선택지가 여러 개일 때 도움이 되는 경우가 많습니다.

실제로는 다음과 같은 형태에서 부분적분을 자주 사용합니다:

• 다항식과 $e^x$ 또는 삼각함수의 곱,
• $\ln x$ 같은 로그함수로, 흔히 $\ln x \cdot 1$로 생각할 수 있는 경우,
• $\arctan x$ 같은 역삼각함수.

가장 좋은 빠른 점검 방법은 이것입니다. $u$를 고른 뒤, $du$가 분명히 더 단순한지 물어보세요. 아니라면 다른 선택을 시도하는 것이 좋습니다.

풀이 예제: $\int x \ln x\,dx$

이 예제는 $\ln x$를 미분하면 훨씬 단순해지기 때문에 대표적으로 자주 다뤄집니다. 먼저 적분함수를 곱의 형태로 다시 쓰면,

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

여기서는 정의역 조건도 중요합니다. $\ln x$는 $x > 0$에서만 정의되므로, 그 구간에서 계산합니다.

다음을 선택합니다:

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

그러면

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

공식을 적용하면,

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

남은 적분을 정리하면,

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

이제 적분하면,

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

따라서 최종 답은

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

입니다.

결과를 미분해서 확인해 보면,

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

이 검산은 부호 실수를 가장 빠르게 찾아내는 방법입니다.

부분적분에서 자주 하는 실수

1. $u$와 $dv$를 잘못 골라서 새 적분이 원래 적분보다 더 어려워지는 경우
2. $uv - \int v\,du$에서 마이너스 부호를 빼먹는 경우
3. $u$는 제대로 미분했지만 $dv$를 잘못 적분하는 경우
4. $\ln x$처럼 정의역 조건이 있는 식을 놓치는 경우
5. 모든 곱에 부분적분을 써야 한다고 생각하는 경우. 때로는 치환적분이나 기본 공식이 더 낫습니다.

부분적분이 유용한 경우

적분함수가 한 번 미분했을 때 구조가 더 좋아지는 형태라면 이 방법을 사용해 보세요. 대표적인 경우는 다음과 같습니다:

• 다항식과 지수함수의 곱, 예를 들어 $\int x e^x\,dx$,
• 다항식과 삼각함수의 곱, 예를 들어 $\int x \cos x\,dx$,
• 로그함수나 역삼각함수에 $1$ 또는 다른 단순한 인수가 곱해진 경우.

이 방법이 적분을 단순하게 만들지 못한다면, 멈추고 다시 판단해야 합니다. 부분적분이 유용한 이유는 공식을 기계적으로 적용할 수 있어서가 아니라, 복잡도를 줄여 주기 때문입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 풀어 보세요:

$$\int x \sin x\,dx$$

같은 판단 과정을 사용하면 됩니다. 미분했을 때 단순해지는 부분을 고르고, 공식을 한 번 적용한 뒤, 마지막으로 답을 미분해서 맞는지 확인해 보세요.