Integración por partes — fórmula y ejemplos

La integración por partes te ayuda a integrar productos como $x e^x$ o $x \ln x$ cuando uno de los factores se simplifica al derivarlo. El objetivo no es usar una fórmula elegante porque sí. El objetivo es transformar la integral original en otra más sencilla.

Proviene de invertir la regla del producto. Si la nueva integral no es más simple, probablemente la integración por partes no sea la mejor opción.

Fórmula de integración por partes

Si eliges una función $u$ y una parte diferencial $dv$, entonces

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Esta es la fórmula de integración por partes. Solo es útil cuando la nueva integral $\int v\,du$ es más fácil que la original.

Por qué funciona la fórmula

Empieza con la regla del producto escrita en forma diferencial:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Integra ambos lados con respecto a $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Entonces

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

y al reorganizar se obtiene

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

No necesitas volver a deducirla cada vez, pero esta es la razón por la que aparece el signo menos.

Cómo elegir $u$ y $dv$

Elige $u$ como la parte que se vuelve más simple al derivarla. Elige $dv$ como la parte que puedes integrar sin mucha dificultad.

Una heurística común es LIATE: logarítmica, trigonométrica inversa, algebraica, trigonométrica, exponencial. Es solo una guía, no una regla, pero suele ayudar cuando más de una elección parece razonable.

En la práctica, la integración por partes es común cuando ves:

• un polinomio multiplicado por $e^x$ o por una función trigonométrica,
• un logaritmo como $\ln x$, que a menudo se trata como $\ln x \cdot 1$,
• una función trigonométrica inversa como $\arctan x$.

La mejor comprobación rápida es esta: después de elegir $u$, pregúntate si $du$ es claramente más simple. Si la respuesta es no, prueba una elección distinta.

Ejemplo resuelto: $\int x \ln x\,dx$

Este es un ejemplo clásico porque $\ln x$ se vuelve mucho más simple al derivarlo. Reescribe el integrando como un producto:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

La condición importa aquí: $\ln x$ está definido para $x > 0$, así que trabajamos en ese dominio.

Elige

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Entonces

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Aplica la fórmula:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Simplifica la integral restante:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Luego integra:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Así que la respuesta final es

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Deriva el resultado para comprobarlo:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Esa comprobación es la forma más rápida de detectar errores de signo.

Errores comunes en integración por partes

1. Elegir $u$ y $dv$ de modo que la nueva integral sea más difícil que la original.
2. Olvidar el signo menos en $uv - \int v\,du$.
3. Derivar $u$ correctamente pero integrar $dv$ de forma incorrecta.
4. Olvidar que algunas expresiones, como $\ln x$, tienen condiciones de dominio.
5. Suponer que todo producto debe resolverse con integración por partes. A veces la sustitución o una regla básica es mejor.

Cuándo es útil la integración por partes

Usa este método cuando el integrando tiene una estructura que mejora después de un paso de derivación. Los casos típicos incluyen:

• polinomio por exponencial, como $\int x e^x\,dx$,
• polinomio por trigonométrica, como $\int x \cos x\,dx$,
• logaritmos o funciones trigonométricas inversas multiplicadas por $1$ o por otro factor simple.

Si el método no simplifica la integral, detente y reevalúa. La integración por partes es útil porque reduce la complejidad, no porque la fórmula se aplique de manera mecánica.

Prueba un problema similar

Prueba

$$\int x \sin x\,dx$$

Usa el mismo proceso de decisión: elige la parte que se simplifica al derivarla, aplica la fórmula una vez y luego deriva tu respuesta para verificarla.