Integrazione per parti — Formula ed esempi

L’integrazione per parti ti aiuta a calcolare integrali di prodotti come $x e^x$ o $x \ln x$ quando uno dei fattori si semplifica dopo la derivazione. Lo scopo non è usare una formula elegante tanto per farlo. Lo scopo è trasformare l’integrale originale in uno più semplice.

Deriva dall’inversione della regola del prodotto. Se il nuovo integrale non è più semplice, probabilmente l’integrazione per parti non è la scelta giusta.

Formula dell’integrazione per parti

Se scegli una funzione $u$ e una parte differenziale $dv$, allora

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Questa è la formula dell’integrazione per parti. È utile solo quando il nuovo integrale $\int v\,du$ è più semplice di quello originale.

Perché la formula funziona

Parti dalla regola del prodotto scritta in forma differenziale:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Integra entrambi i membri rispetto a $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Quindi

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

e riordinando ottieni

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Non serve ridimostrarla ogni volta, ma è per questo che compare il segno meno.

Come scegliere $u$ e $dv$

Scegli $u$ come la parte che diventa più semplice dopo la derivazione. Scegli $dv$ come la parte che puoi integrare senza troppe difficoltà.

Un criterio pratico molto comune è LIATE: logaritmica, trigonometrica inversa, algebrica, trigonometrica, esponenziale. È solo una guida, non una regola, ma spesso aiuta quando più di una scelta sembra ragionevole.

In pratica, l’integrazione per parti è comune quando vedi:

• un polinomio moltiplicato per $e^x$ o per una funzione trigonometrica,
• un logaritmo come $\ln x$, spesso trattato come $\ln x \cdot 1$,
• una funzione trigonometrica inversa come $\arctan x$.

Il controllo rapido migliore è questo: dopo aver scelto $u$, chiediti se $du$ è chiaramente più semplice. Se la risposta è no, prova una scelta diversa.

Esempio svolto: $\int x \ln x\,dx$

Questo è un esempio classico perché $\ln x$ diventa molto più semplice quando lo derivi. Riscrivi l’integrando come un prodotto:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

Qui la condizione è importante: $\ln x$ è definito per $x > 0$, quindi lavoriamo in quel dominio.

Scegli

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Allora

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Applica la formula:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Semplifica l’integrale rimanente:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Poi integra:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Quindi la risposta finale è

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Deriva il risultato per verificarlo:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Questo controllo è il modo più rapido per individuare errori di segno.

Errori comuni nell’integrazione per parti

1. Scegliere $u$ e $dv$ in modo che il nuovo integrale sia più difficile di quello originale.
2. Dimenticare il segno meno in $uv - \int v\,du$.
3. Derivare correttamente $u$ ma integrare $dv$ in modo errato.
4. Dimenticare che alcune espressioni, come $\ln x$, hanno condizioni sul dominio.
5. Supporre che ogni prodotto richieda l’integrazione per parti. A volte una sostituzione o una regola di base è meglio.

Quando l’integrazione per parti è utile

Usa questo metodo quando l’integrando ha una struttura che migliora dopo un passaggio di derivazione. I casi tipici includono:

• polinomio per esponenziale, come $\int x e^x\,dx$,
• polinomio per trigonometrica, come $\int x \cos x\,dx$,
• logaritmi o funzioni trigonometriche inverse moltiplicati per $1$ o per un altro fattore semplice.

Se il metodo non semplifica l’integrale, fermati e rivaluta. L’integrazione per parti è utile perché riduce la complessità, non perché la formula si applichi in modo meccanico.

Prova un esercizio simile

Prova

$$\int x \sin x\,dx$$

Usa lo stesso processo decisionale: scegli la parte che si semplifica quando viene derivata, applica la formula una volta e poi deriva la tua risposta per verificarla.