Kısmi İntegrasyon — Formül ve Örnekler

Kısmi integrasyon, $x e^x$ veya $x \ln x$ gibi çarpım biçimindeki ifadeleri, çarpanlardan biri türev alındığında daha basit hale geliyorsa integre etmenize yardımcı olur. Amaç, sırf gösterişli bir formül kullanmak değildir. Amaç, başlangıçtaki integrali daha kolay bir integrale dönüştürmektir.

Bu yöntem, çarpım kuralının tersinden gelir. Yeni integral daha basit değilse, kısmi integrasyon muhtemelen doğru tercih değildir.

Kısmi İntegrasyon Formülü

Bir $u$ fonksiyonu ve bir $dv$ diferansiyel kısmı seçerseniz,

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

olur.

Bu, kısmi integrasyon formülüdür. Yalnızca yeni integral $\int v\,du$, başlangıçtaki integralden daha kolaysa işe yarar.

Formül Neden Çalışır?

Çarpım kuralını diferansiyel biçimde yazalım:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Her iki tarafın da $x$'e göre integralini alalım:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Böylece

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

elde edilir ve düzenlersek

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

olur.

Bunu her seferinde yeniden türetmeniz gerekmez, ama eksi işaretinin nedeni budur.

$u$ ve $dv$ Nasıl Seçilir?

$u$ olarak, türev alındığında daha basit hale gelen kısmı seçin. $dv$ olarak ise, çok zorlanmadan integralini alabileceğiniz kısmı seçin.

Yaygın bir sezgisel kural LIATE'dir: logaritmik, ters trigonometrik, cebirsel, trigonometrik, üstel. Bu bir kural değil, sadece bir rehberdir; ama birden fazla seçim makul göründüğünde çoğu zaman yardımcı olur.

Pratikte, şu durumlarda kısmi integrasyon sık kullanılır:

• bir polinom ile $e^x$ ya da bir trigonometrik fonksiyonun çarpımında,
• $\ln x$ gibi bir logaritmada; bu genelde $\ln x \cdot 1$ şeklinde ele alınır,
• $\arctan x$ gibi bir ters trigonometrik fonksiyonda.

En iyi hızlı kontrol şudur: $u$'yu seçtikten sonra, $du$'nun açıkça daha basit olup olmadığına bakın. Cevap hayırsa, başka bir seçim deneyin.

Çözümlü Örnek: $\int x \ln x\,dx$

Bu, standart bir örnektir çünkü $\ln x$ türev alındığında çok daha basit hale gelir. İntegrandı bir çarpım olarak yeniden yazalım:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

Burada tanım koşulu önemlidir: $\ln x$, $x > 0$ için tanımlıdır; bu yüzden bu bölgede çalışırız.

Seçelim:

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

O zaman

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Formülü uygulayalım:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Kalan integrali sadeleştirelim:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Şimdi integral alalım:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Dolayısıyla son cevap

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

olur.

Kontrol etmek için sonucu türevleyin:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Bu kontrol, işaret hatalarını yakalamanın en hızlı yoludur.

Kısmi İntegrasyonda Sık Yapılan Hatalar

1. $u$ ve $dv$'yi, yeni integral başlangıçtakinden daha zor olacak şekilde seçmek.
2. $uv - \int v\,du$ ifadesindeki eksi işaretini unutmak.
3. $u$'nun türevini doğru alıp $dv$'nin integralini yanlış hesaplamak.
4. $\ln x$ gibi bazı ifadelerin tanım koşulları olduğunu unutmak.
5. Her çarpım için kısmi integrasyon gerektiğini sanmak. Bazen yerine koyma ya da temel bir kural daha iyidir.

Kısmi İntegrasyon Ne Zaman Kullanışlıdır?

Bu yöntemi, integrandın bir kez türev alındığında daha iyi bir yapıya kavuştuğu durumlarda kullanın. Tipik örnekler şunlardır:

• üstel ile polinom çarpımı, örneğin $\int x e^x\,dx$,
• trigonometrik fonksiyon ile polinom çarpımı, örneğin $\int x \cos x\,dx$,
• $1$ ya da başka basit bir çarpanla çarpılmış logaritmalar veya ters trigonometrik fonksiyonlar.

Yöntem integrali sadeleştirmiyorsa durup yeniden değerlendirin. Kısmi integrasyonun faydası, formülün mekanik olarak uygulanmasında değil, karmaşıklığı azaltmasındadır.

Benzer Bir Soru Deneyin

Şunu deneyin:

$$\int x \sin x\,dx$$

Aynı karar sürecini kullanın: türev alındığında sadeleşen kısmı seçin, formülü bir kez uygulayın ve sonra cevabınızı doğrulamak için türev alın.