部分積分 — 公式と例

部分積分は、$x e^x$ や $x \ln x$ のような積の形の関数を積分するときに役立ちます。特に、片方の因子を微分するとより簡単になる場合に有効です。大事なのは、公式を使うこと自体ではありません。もとの積分を、より簡単な積分に変えることが目的です。

これは積の微分法の逆向きの考え方から出てきます。新しくできる積分が簡単にならないなら、部分積分はおそらく適切な方法ではありません。

部分積分の公式

関数 $u$ と微分部分 $dv$ を選ぶと、

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

となります。これが部分積分の公式です。新しい積分 $\int v\,du$ がもとの積分より簡単になるときにだけ有用です。

なぜこの公式が成り立つのか

まず、積の微分法を微分形式で書くと、

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

となります。

両辺を $x$ について積分すると、

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

したがって、

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

です。これを変形すると、

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

を得ます。

毎回これを導き直す必要はありませんが、マイナス符号が付く理由はここにあります。

$u$ と $dv$ の選び方

$u$ には、微分すると簡単になる部分を選びます。$dv$ には、あまり苦労せずに積分できる部分を選びます。

よく使われる目安の一つに LIATE があります。logarithmic、inverse trig、algebraic、trig、exponential の順です。これは厳密なルールではなく、あくまで指針ですが、複数の選び方がありそうなときによく役立ちます。

実際には、次のような形で部分積分を使うことが多いです。

• 多項式と $e^x$ や三角関数の積
• $\ln x$ のような対数関数（しばしば $\ln x \cdot 1$ とみなす）
• $\arctan x$ のような逆三角関数

手早い確認方法としては、$u$ を選んだあとで、$du$ が明らかに簡単になっているかを考えることです。答えがノーなら、別の選び方を試しましょう。

計算例: $\int x \ln x\,dx$

これは標準的な例です。$\ln x$ は微分するとずっと簡単になるからです。まず被積分関数を積の形として書きます。

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

ここでは定義域が重要です。$\ln x$ は $x > 0$ で定義されるので、その範囲で考えます。

次のように選びます。

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

すると、

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

となります。

公式を適用すると、

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

です。

残った積分を簡単にすると、

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

となります。

さらに積分して、

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

したがって、最終結果は

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

です。

確認のために結果を微分してみると、

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

となります。この確認は、符号ミスを見つける最も速い方法です。

部分積分でよくあるミス

1. $u$ と $dv$ の選び方が悪く、新しい積分のほうがもとの積分より難しくなってしまう。
2. $uv - \int v\,du$ のマイナス符号を忘れる。
3. $u$ の微分は正しくできていても、$dv$ の積分を間違える。
4. $\ln x$ のように、定義域の条件がある式を見落とす。
5. 積の形なら何でも部分積分を使うと思い込む。置換積分や基本公式のほうがよい場合もある。

部分積分が有効なとき

この方法は、被積分関数が1回微分することでより扱いやすくなる構造をもつときに使います。典型的な例は次のとおりです。

• 多項式と指数関数の積（例: $\int x e^x\,dx$）
• 多項式と三角関数の積（例: $\int x \cos x\,dx$）
• 対数関数や逆三角関数に、$1$ や別の簡単な因子が掛かっている場合

この方法で積分が簡単にならないなら、いったん立ち止まって見直しましょう。部分積分が有用なのは、公式を機械的に当てはめられるからではなく、複雑さを減らせるからです。

似た問題に挑戦してみよう

次をやってみましょう。

$$\int x \sin x\,dx$$

同じ考え方で進めます。微分すると簡単になる部分を選び、公式を1回使い、最後に答えを微分して確かめてください。