Bảng công thức nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm này tổng hợp các quy tắc nguyên hàm chuẩn mà học sinh, sinh viên thường học đầu tiên trong giải tích. Hãy dùng khi hàm dưới dấu tích phân đã khớp với một dạng quen thuộc như lũy thừa, $1/x$, hàm mũ hoặc một hàm lượng giác cơ bản.

Công việc chính là nhận dạng mẫu. Nếu biểu thức là tổng hoặc hiệu, bạn thường có thể lấy nguyên hàm từng hạng tử. Nếu đó là tích, thương hoặc hợp hàm, bạn có thể cần dùng một phương pháp khác.

Các Công Thức Nguyên Hàm Chính

• Quy tắc lũy thừa:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Trường hợp logarit:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Quy tắc hàm mũ:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Quy tắc lượng giác cơ bản:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Có một quy tắc liên kết hầu hết các ví dụ trên: tính tuyến tính.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Điều này đúng với tổng và hiệu. Nó không có nghĩa là bạn có thể tách một tích thành các tích phân riêng biệt.

Ngoại Lệ Mà Nhiều Học Sinh Bỏ Qua

Quy tắc lũy thừa không áp dụng khi $n = -1$. Khi đó, $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, và nguyên hàm là dạng logarit:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Viết $\frac{x^0}{0}$ là vô nghĩa, nên trường hợp này phải được xử lý riêng.

Ví Dụ Mẫu Dùng Nhiều Công Thức Nguyên Hàm

Tính

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Mỗi hạng tử đều khớp với một công thức chuẩn, nên dùng tính tuyến tính và lấy nguyên hàm từng hạng tử:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Cộng các kết quả lại và thêm hằng số tích phân:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Bước cuối này là cách nhanh nhất để phát hiện lỗi sai dấu.

Những Lỗi Thường Gặp Với Công Thức Nguyên Hàm

1. Quên hằng số tích phân. Với tích phân bất định, đáp án phải có $+C$.
2. Dùng quy tắc lũy thừa khi $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ không thuộc trường hợp quy tắc lũy thừa; nó là $\ln|x| + C$.
3. Tách một tích như thể tích phân phân phối qua phép nhân. Nói chung, $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Chép công thức đạo hàm mà không đảo ngược cẩn thận. Ví dụ, $\int \sin x\,dx$ là $-\cos x + C$, không phải $\cos x + C$.

Khi Nào Nên Dùng Công Thức Nguyên Hàm

Hãy dùng công thức nguyên hàm trực tiếp khi hàm dưới dấu tích phân đã khớp với một mẫu chuẩn sau vài bước biến đổi đại số đơn giản. Những ví dụ điển hình là đa thức, các hàm lượng giác cơ bản và các hàm mũ đơn giản.

Nếu hàm dưới dấu tích phân không khớp với dạng quen thuộc nào, hãy dừng lại trước khi cố ép dùng công thức. Tích thường cần phương pháp tích phân từng phần, còn hợp hàm thường cần phép đổi biến.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy tự làm $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$. Nếu mỗi hạng tử đều khớp với một công thức chuẩn và đáp án cuối cùng lấy đạo hàm ra đúng hàm ban đầu dưới dấu tích phân, thì bạn đang dùng bảng công thức đúng cách.