Phép đổi biến u trong tích phân

Phép đổi biến u là phương pháp tích phân tiêu chuẩn cho các biểu thức như $\int f(g(x))g'(x)\,dx$. Bạn chọn biểu thức bên trong làm $u$, thay phần đạo hàm tương ứng bằng $du$, rồi biến tích phân thành một dạng đơn giản hơn.

Hãy dùng phương pháp này khi một hàm nằm rõ ràng bên trong một hàm khác và đạo hàm của biểu thức bên trong cũng xuất hiện, đúng hẳn hoặc chỉ khác một hệ số hằng khác 0.

Phép đổi biến U có nghĩa là gì

Mẫu tổng quát là:

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$

Nếu đặt $u = g(x)$, thì $du = g'(x)\,dx$, nên tích phân trở thành

$$\int f(u)\,du$$

Đó chính là toàn bộ ý tưởng. Một biểu thức bên trong rắc rối được thay bằng một biến duy nhất, nên nguyên hàm sẽ dễ nhận ra hơn.

Cách nhận biết khi nào phép đổi biến U dùng được

Phép đổi biến u hoạt động tốt nhất khi biểu thức dưới dấu tích phân có cấu trúc hợp thành rõ ràng. Nói đơn giản, một hàm nằm bên trong một hàm khác, và một dạng nào đó của đạo hàm bên trong cũng xuất hiện.

Các dạng thường gặp gồm lũy thừa như $(x^2+1)^5$, căn thức như $\sqrt{3x-2}$, hàm mũ như $e^{x^2}$, và biểu thức lượng giác như $\cos(x^3)$.

Nếu đạo hàm của biểu thức bên trong hoàn toàn không có mặt, phép đổi biến có thể không giúp ích. Nếu nó chỉ lệch bởi một hệ số hằng khác 0, bạn thường có thể xử lý bằng cách đưa hằng số vào hoặc ra ngoài trước.

Ví dụ mẫu: $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$

Tính

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

Mẫu số có biểu thức bên trong là $x^2+1$, và đạo hàm của nó là $2x$. Tử số chỉ bằng một nửa của biểu thức đó, và như vậy là đủ gần để dùng phép đổi biến.

Đặt

$$u = x^2 + 1$$

Khi đó

$$du = 2x\,dx$$

nên

$$x\,dx = \frac{1}{2}du$$

Viết lại tích phân:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$$

Bây giờ tính tích phân:

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

Đổi lại:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$

Vì $x^2+1 > 0$ với mọi số thực $x$, nên ở đây viết $\ln(x^2+1)$ là hoàn toàn ổn.

Vì sao phép đổi biến U hợp lý

Phép lấy đạo hàm theo quy tắc dây chuyền cho thấy một hàm ngoài sẽ xuất hiện thêm một thừa số từ đạo hàm của hàm bên trong. Phép đổi biến u đi ngược lại ý tưởng đó. Nó gom biểu thức bên trong thành một ký hiệu duy nhất và xem phần đạo hàm là vi phân tương ứng.

Vì thế, đây không phải là việc dò mẫu một cách ngẫu nhiên. Nó là cách có cấu trúc để đảo ngược quy tắc dây chuyền.

Những lỗi thường gặp khi đổi biến U

1. Chọn $u$ mà không kiểm tra xem đạo hàm của nó có xuất hiện hay không. Nếu phần đạo hàm tương ứng không có, phép đổi biến có thể không làm đơn giản bài toán.
2. Quên điều chỉnh hệ số hằng. Trong ví dụ trên, nếu dùng $du = 2x\,dx$ nhưng bỏ qua $\frac{1}{2}$ thì sẽ ra đáp án sai.
3. Trộn lẫn các biến sau khi đã đổi biến. Một khi đã viết lại theo $u$, tích phân phải được giữ hoàn toàn theo $u$ cho đến khi bạn đổi lại.
4. Quên $+C$ với tích phân bất định.
5. Giữ biến là $u$ trong tích phân xác định nhưng vẫn dùng cận theo $x$ cũ. Nếu bạn tính theo $u$, thì cận cũng phải đổi sang các giá trị theo $u$.

Phép đổi biến U với tích phân xác định

Với tích phân xác định, bạn có thể xử lý bước cuối theo một trong hai cách đúng.

Một cách là đổi lại về $x$ rồi dùng các cận ban đầu. Cách còn lại là giữ đáp án theo $u$ và đổi cận ngay từ đầu.

Ví dụ, nếu

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$$

và bạn đặt $u=x^2$, thì cận mới là $u=0$ và $u=1$, nên

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1$$

Điều quan trọng là phải nhất quán: đừng trộn biến $u$ với cận theo $x$.

Phép đổi biến U được dùng ở đâu

Phép đổi biến u là một trong những kỹ thuật tích phân quan trọng đầu tiên trong giải tích vì nhiều nguyên hàm không khớp trực tiếp với công thức cho đến khi bạn viết lại chúng.

Nó xuất hiện trong các khóa giải tích cơ bản, phương trình vi phân, xác suất, vật lý và kỹ thuật, bất cứ khi nào một đại lượng được xây dựng tự nhiên từ một biểu thức bên trong và tốc độ thay đổi của nó.

Hãy thử một bài tương tự về đổi biến U

Hãy thử

$$\int (3x^2)\,e^{x^3}\,dx$$

trước khi tra cứu lời giải. Nếu bạn chọn $u=x^3$, tích phân sẽ rút gọn rất nhanh. Sau khi làm xong, hãy kiểm tra xem đáp án cuối cùng của bạn đã đổi lại về $x$ chưa và bạn có giữ đúng hệ số hằng hay không.