อินทิเกรตโดยส่วน — สูตรและตัวอย่าง

การอินทิเกรตโดยส่วนช่วยให้คุณหาปริพันธ์ของผลคูณ เช่น $x e^x$ หรือ $x \ln x$ ได้ เมื่อมีปัจจัยตัวหนึ่งที่ง่ายลงหลังจากหาอนุพันธ์ เป้าหมายไม่ใช่การใช้สูตรที่ดูซับซ้อนโดยไม่จำเป็น แต่คือการเปลี่ยนปริพันธ์เดิมให้เป็นปริพันธ์ที่ง่ายกว่า

วิธีนี้มาจากการย้อนกลับกฎผลคูณ ถ้าปริพันธ์ใหม่ไม่ได้ง่ายขึ้น การอินทิเกรตโดยส่วนก็มักไม่ใช่วิธีที่เหมาะ

สูตรอินทิเกรตโดยส่วน

ถ้าคุณเลือกฟังก์ชัน $u$ และส่วนเชิงอนุพันธ์ $dv$ จะได้ว่า

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

นี่คือสูตรอินทิเกรตโดยส่วน ซึ่งจะมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อปริพันธ์ใหม่ $\int v\,du$ ง่ายกว่าปริพันธ์เดิม

ทำไมสูตรนี้จึงใช้ได้

เริ่มจากกฎผลคูณในรูปเชิงอนุพันธ์:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

อินทิเกรตทั้งสองข้างเทียบกับ $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

ดังนั้น

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

และเมื่อจัดรูปใหม่จะได้

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

คุณไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ใหม่ทุกครั้ง แต่ตรงนี้อธิบายว่าทำไมจึงมีเครื่องหมายลบ

วิธีเลือก $u$ และ $dv$

เลือก $u$ เป็นส่วนที่ง่ายลงหลังจากหาอนุพันธ์ และเลือก $dv$ เป็นส่วนที่คุณสามารถอินทิเกรตได้ไม่ยาก

หลักช่วยจำที่พบบ่อยคือ LIATE: logarithmic, inverse trig, algebraic, trig, exponential หลักนี้เป็นเพียงแนวทาง ไม่ใช่กฎตายตัว แต่ก็มักช่วยได้เมื่อมีหลายทางเลือกที่ดูสมเหตุสมผล

ในทางปฏิบัติ การอินทิเกรตโดยส่วนมักใช้เมื่อคุณเห็น:

• พหุนามคูณกับ $e^x$ หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ลอการิทึม เช่น $\ln x$ ซึ่งมักมองเป็น $\ln x \cdot 1$
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เช่น $\arctan x$

วิธีเช็กเร็วที่สุดคือ หลังจากเลือก $u$ แล้ว ให้ถามว่า $du$ ง่ายลงอย่างชัดเจนหรือไม่ ถ้าคำตอบคือไม่ ให้ลองเลือกใหม่

ตัวอย่างทำโจทย์: $\int x \ln x\,dx$

นี่เป็นตัวอย่างมาตรฐาน เพราะ $\ln x$ จะง่ายขึ้นมากเมื่อหาอนุพันธ์ เขียนอินทิแกรนด์ใหม่ให้อยู่ในรูปผลคูณ:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

เงื่อนไขของโดเมนสำคัญในข้อนี้: $\ln x$ นิยามเมื่อ $x > 0$ ดังนั้นเราจึงทำงานบนโดเมนนี้

เลือก

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

แล้วจะได้

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

แทนลงในสูตร:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

จัดรูปปริพันธ์ที่เหลือ:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

จากนั้นอินทิเกรต:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

ดังนั้นคำตอบสุดท้ายคือ

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

หาอนุพันธ์ของคำตอบเพื่อตรวจสอบ:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

การตรวจแบบนี้เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการจับข้อผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการอินทิเกรตโดยส่วน

1. เลือก $u$ และ $dv$ จนทำให้ปริพันธ์ใหม่ยากกว่าปริพันธ์เดิม
2. ลืมเครื่องหมายลบใน $uv - \int v\,du$
3. หาอนุพันธ์ของ $u$ ถูกต้อง แต่หาอินทิกรัลของ $dv$ ผิด
4. ลืมว่าโจทย์บางแบบ เช่น $\ln x$ มีเงื่อนไขของโดเมน
5. คิดว่าผลคูณทุกแบบต้องใช้อินทิเกรตโดยส่วน ทั้งที่บางครั้งการแทนค่า หรือกฎพื้นฐานอาจดีกว่า

เมื่อใดที่การอินทิเกรตโดยส่วนมีประโยชน์

ใช้วิธีนี้เมื่ออินทิแกรนด์มีโครงสร้างที่ดีขึ้นหลังจากหาอนุพันธ์หนึ่งครั้ง กรณีที่พบบ่อย ได้แก่:

• พหุนามคูณเอ็กซ์โพเนนเชียล เช่น $\int x e^x\,dx$
• พหุนามคูณตรีโกณมิติ เช่น $\int x \cos x\,dx$
• ลอการิทึมหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่คูณกับ $1$ หรือปัจจัยง่าย ๆ อื่น

ถ้าวิธีนี้ไม่ได้ทำให้ปริพันธ์ง่ายขึ้น ให้หยุดและประเมินใหม่ การอินทิเกรตโดยส่วนมีประโยชน์เพราะช่วยลดความซับซ้อน ไม่ใช่เพียงเพราะสูตรสามารถนำมาใช้ได้แบบกลไก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำ

$$\int x \sin x\,dx$$

ใช้กระบวนการตัดสินใจแบบเดียวกัน: เลือกส่วนที่ง่ายลงเมื่อหาอนุพันธ์ ใช้สูตรหนึ่งครั้ง แล้วหาอนุพันธ์ของคำตอบเพื่อตรวจสอบ