Integração por Partes — Fórmula e Exemplos

A integração por partes ajuda a calcular integrais de produtos como $x e^x$ ou $x \ln x$ quando um dos fatores fica mais simples após a derivação. O objetivo não é usar uma fórmula sofisticada só por usar. O objetivo é transformar a integral original em outra mais fácil.

Ela vem da reversão da regra do produto. Se a nova integral não ficar mais simples, a integração por partes provavelmente não é a melhor escolha.

Fórmula da Integração por Partes

Se você escolhe uma função $u$ e uma parte diferencial $dv$, então

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Essa é a fórmula da integração por partes. Ela só é útil quando a nova integral $\int v\,du$ é mais fácil do que a original.

Por Que a Fórmula Funciona

Comece com a regra do produto escrita na forma diferencial:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Integre os dois lados em relação a $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Então

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

e, reorganizando, obtemos

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Você não precisa deduzi-la de novo toda vez, mas é por isso que o sinal de menos aparece.

Como Escolher $u$ e $dv$

Escolha $u$ como a parte que fica mais simples após a derivação. Escolha $dv$ como a parte que você consegue integrar sem muita dificuldade.

Uma heurística comum é LIATE: logarítmica, trigonométrica inversa, algébrica, trigonométrica, exponencial. Ela é apenas um guia, não uma regra, mas costuma ajudar quando mais de uma escolha parece razoável.

Na prática, a integração por partes é comum quando você vê:

• um polinômio vezes $e^x$ ou uma função trigonométrica,
• um logaritmo como $\ln x$, muitas vezes tratado como $\ln x \cdot 1$,
• uma função trigonométrica inversa como $\arctan x$.

A melhor verificação rápida é esta: depois de escolher $u$, pergunte se $du$ fica claramente mais simples. Se a resposta for não, tente outra escolha.

Exemplo Resolvido: $\int x \ln x\,dx$

Este é um exemplo clássico porque $\ln x$ fica muito mais simples quando você o deriva. Reescreva o integrando como um produto:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

A condição importa aqui: $\ln x$ está definido para $x > 0$, então trabalhamos nesse domínio.

Escolha

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Então

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Aplique a fórmula:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Simplifique a integral restante:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Depois, integre:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Portanto, a resposta final é

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Derive o resultado para verificar:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Essa verificação é a forma mais rápida de detectar erros de sinal.

Erros Comuns na Integração por Partes

1. Escolher $u$ e $dv$ de modo que a nova integral fique mais difícil do que a original.
2. Esquecer o sinal de menos em $uv - \int v\,du$.
3. Derivar $u$ corretamente, mas integrar $dv$ de forma incorreta.
4. Esquecer que algumas expressões, como $\ln x$, vêm com condições de domínio.
5. Supor que todo produto deve ser resolvido por integração por partes. Às vezes, substituição ou uma regra básica é melhor.

Quando a Integração por Partes É Útil

Use esse método quando o integrando tem uma estrutura que melhora após uma etapa de derivação. Casos típicos incluem:

• polinômio vezes exponencial, como $\int x e^x\,dx$,
• polinômio vezes trigonométrica, como $\int x \cos x\,dx$,
• logaritmos ou funções trigonométricas inversas multiplicados por $1$ ou por outro fator simples.

Se o método não simplificar a integral, pare e reavalie. A integração por partes é útil porque reduz a complexidade, não porque a fórmula se aplica mecanicamente.

Tente um Problema Parecido

Tente

$$\int x \sin x\,dx$$

Use o mesmo processo de decisão: escolha a parte que simplifica ao ser derivada, aplique a fórmula uma vez e depois derive sua resposta para verificar.