Ολοκλήρωση κατά μέρη — Τύπος και παραδείγματα

Η ολοκλήρωση κατά μέρη σε βοηθά να υπολογίζεις ολοκληρώματα γινομένων όπως $x e^x$ ή $x \ln x$, όταν ένας παράγοντας γίνεται απλούστερος μετά την παραγώγιση. Ο στόχος δεν είναι να χρησιμοποιήσεις έναν «έξυπνο» τύπο μόνο και μόνο επειδή υπάρχει. Ο στόχος είναι να μετατρέψεις το αρχικό ολοκλήρωμα σε ένα πιο εύκολο.

Προκύπτει από την αντιστροφή του κανόνα του γινομένου. Αν το νέο ολοκλήρωμα δεν είναι απλούστερο, τότε η ολοκλήρωση κατά μέρη μάλλον δεν είναι η σωστή επιλογή.

Τύπος ολοκλήρωσης κατά μέρη

Αν επιλέξεις μια συνάρτηση $u$ και ένα διαφορικό μέρος $dv$, τότε

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Αυτός είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά μέρη. Είναι χρήσιμος μόνο όταν το νέο ολοκλήρωμα $\int v\,du$ είναι ευκολότερο από το αρχικό.

Γιατί ισχύει ο τύπος

Ξεκίνα με τον κανόνα του γινομένου γραμμένο σε διαφορική μορφή:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Ολοκλήρωσε και τα δύο μέλη ως προς $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Άρα

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

και, αναδιατάσσοντας, παίρνεις

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Δεν χρειάζεται να το ξαναπαράγεις κάθε φορά, αλλά γι’ αυτό υπάρχει το αρνητικό πρόσημο.

Πώς να επιλέξεις $u$ και $dv$

Διάλεξε ως $u$ το μέρος που γίνεται απλούστερο μετά την παραγώγιση. Διάλεξε ως $dv$ το μέρος που μπορείς να ολοκληρώσεις χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία.

Ένας συνηθισμένος εμπειρικός κανόνας είναι το LIATE: λογαριθμικές, αντίστροφες τριγωνομετρικές, αλγεβρικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές. Είναι μόνο ένας οδηγός, όχι κανόνας, αλλά συχνά βοηθά όταν περισσότερες από μία επιλογές φαίνονται λογικές.

Στην πράξη, η ολοκλήρωση κατά μέρη εμφανίζεται συχνά όταν βλέπεις:

• ένα πολυώνυμο επί $e^x$ ή επί μια τριγωνομετρική συνάρτηση,
• έναν λογάριθμο όπως το $\ln x$, που συχνά αντιμετωπίζεται ως $\ln x \cdot 1$,
• μια αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση όπως η $\arctan x$.

Ο καλύτερος γρήγορος έλεγχος είναι ο εξής: αφού διαλέξεις το $u$, ρώτησε αν το $du$ είναι ξεκάθαρα απλούστερο. Αν η απάντηση είναι όχι, δοκίμασε άλλη επιλογή.

Λυμένο παράδειγμα: $\int x \ln x\,dx$

Αυτό είναι ένα κλασικό παράδειγμα, επειδή το $\ln x$ γίνεται πολύ απλούστερο όταν το παραγωγίζεις. Ξαναγράψε το ολοκληρωτέο ως γινόμενο:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

Η συνθήκη ορισμού έχει σημασία εδώ: το $\ln x$ ορίζεται για $x > 0$, οπότε εργαζόμαστε σε αυτό το πεδίο ορισμού.

Επίλεξε

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Τότε

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Εφάρμοσε τον τύπο:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Απλοποίησε το ολοκλήρωμα που απομένει:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Έπειτα ολοκλήρωσε:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Άρα η τελική απάντηση είναι

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Παραγώγισε το αποτέλεσμα για να το ελέγξεις:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Αυτός ο έλεγχος είναι ο πιο γρήγορος τρόπος να εντοπίσεις λάθη στα πρόσημα.

Συνηθισμένα λάθη στην ολοκλήρωση κατά μέρη

1. Επιλέγεις $u$ και $dv$ έτσι ώστε το νέο ολοκλήρωμα να είναι δυσκολότερο από το αρχικό.
2. Ξεχνάς το αρνητικό πρόσημο στο $uv - \int v\,du$.
3. Παραγωγίζεις σωστά το $u$, αλλά ολοκληρώνεις λάθος το $dv$.
4. Ξεχνάς ότι κάποιες παραστάσεις, όπως το $\ln x$, συνοδεύονται από συνθήκες στο πεδίο ορισμού.
5. Υποθέτεις ότι κάθε γινόμενο πρέπει να λυθεί με ολοκλήρωση κατά μέρη. Μερικές φορές η αντικατάσταση ή ένας βασικός κανόνας είναι καλύτερη επιλογή.

Πότε είναι χρήσιμη η ολοκλήρωση κατά μέρη

Χρησιμοποίησε αυτή τη μέθοδο όταν το ολοκληρωτέο έχει δομή που βελτιώνεται μετά από ένα βήμα παραγώγισης. Τυπικές περιπτώσεις είναι:

• πολυώνυμο επί εκθετική, όπως $\int x e^x\,dx$,
• πολυώνυμο επί τριγωνομετρική συνάρτηση, όπως $\int x \cos x\,dx$,
• λογάριθμοι ή αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλασιασμένες με $1$ ή με κάποιον άλλο απλό παράγοντα.

Αν η μέθοδος δεν απλοποιεί το ολοκλήρωμα, σταμάτα και επανεκτίμησε. Η ολοκλήρωση κατά μέρη είναι χρήσιμη επειδή μειώνει την πολυπλοκότητα, όχι επειδή ο τύπος εφαρμόζεται μηχανικά.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε

$$\int x \sin x\,dx$$

Ακολούθησε την ίδια διαδικασία επιλογής: διάλεξε το μέρος που απλοποιείται όταν παραγωγίζεται, εφάρμοσε τον τύπο μία φορά και μετά παραγώγισε την απάντησή σου για επαλήθευση.