Całkowanie przez części — wzór i przykłady

Całkowanie przez części pomaga obliczać całki z iloczynów, takich jak $x e^x$ lub $x \ln x$, gdy jeden z czynników upraszcza się po zróżniczkowaniu. Celem nie jest użycie efektownego wzoru dla samego wzoru. Chodzi o zamianę wyjściowej całki na łatwiejszą.

Metoda ta wynika z odwrócenia reguły iloczynu. Jeśli nowa całka nie jest prostsza, to całkowanie przez części prawdopodobnie nie jest dobrym wyborem.

Wzór na całkowanie przez części

Jeśli wybierzesz funkcję $u$ oraz część różniczkową $dv$, to

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

To jest wzór na całkowanie przez części. Jest użyteczny tylko wtedy, gdy nowa całka $\int v\,du$ jest łatwiejsza od wyjściowej.

Dlaczego ten wzór działa

Zacznij od reguły iloczynu zapisanej w postaci różniczkowej:

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Scałkuj obie strony względem $x$:

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Zatem

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

a po przekształceniu otrzymujemy

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Nie musisz wyprowadzać tego wzoru za każdym razem, ale właśnie stąd bierze się znak minus.

Jak wybrać $u$ i $dv$

Wybierz $u$ jako tę część, która po zróżniczkowaniu staje się prostsza. Wybierz $dv$ jako tę część, którą da się scałkować bez większego problemu.

Jedną z popularnych wskazówek jest LIATE: logarytmiczne, odwrotne trygonometryczne, algebraiczne, trygonometryczne, wykładnicze. To tylko podpowiedź, a nie ścisła reguła, ale często pomaga, gdy więcej niż jeden wybór wydaje się sensowny.

W praktyce całkowanie przez części często stosuje się, gdy widzisz:

• wielomian pomnożony przez $e^x$ lub funkcję trygonometryczną,
• logarytm, taki jak $\ln x$, często traktowany jako $\ln x \cdot 1$,
• odwrotną funkcję trygonometryczną, taką jak $\arctan x$.

Najlepszy szybki test jest taki: po wybraniu $u$ zapytaj, czy $du$ jest wyraźnie prostsze. Jeśli nie, spróbuj innego wyboru.

Przykład: $\int x \ln x\,dx$

To standardowy przykład, ponieważ $\ln x$ po zróżniczkowaniu staje się znacznie prostsze. Przepisz funkcję podcałkową jako iloczyn:

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

Warunek dziedziny ma tu znaczenie: $\ln x$ jest określony dla $x > 0$, więc pracujemy na tym przedziale.

Wybierz

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Wtedy

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Zastosuj wzór:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Uprość pozostałą całkę:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Następnie całkuj:

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Zatem ostateczny wynik to

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Zróżniczkuj wynik, aby go sprawdzić:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Taka kontrola to najszybszy sposób na wychwycenie błędów znaku.

Najczęstsze błędy przy całkowaniu przez części

1. Wybranie $u$ i $dv$ tak, że nowa całka jest trudniejsza od wyjściowej.
2. Zapomnienie o znaku minus we wzorze $uv - \int v\,du$.
3. Poprawne zróżniczkowanie $u$, ale błędne scałkowanie $dv$.
4. Zapomnienie, że niektóre wyrażenia, takie jak $\ln x$, mają warunki dziedziny.
5. Zakładanie, że każdy iloczyn należy liczyć przez części. Czasem lepsze jest podstawienie albo prosty wzór.

Kiedy całkowanie przez części jest przydatne

Stosuj tę metodę, gdy funkcja podcałkowa ma strukturę, która upraszcza się po jednym kroku różniczkowania. Typowe przypadki to:

• wielomian razy funkcja wykładnicza, na przykład $\int x e^x\,dx$,
• wielomian razy funkcja trygonometryczna, na przykład $\int x \cos x\,dx$,
• logarytmy lub odwrotne funkcje trygonometryczne pomnożone przez $1$ albo inny prosty czynnik.

Jeśli metoda nie upraszcza całki, zatrzymaj się i oceń sytuację jeszcze raz. Całkowanie przez części jest przydatne dlatego, że zmniejsza złożoność, a nie dlatego, że wzór da się zastosować mechanicznie.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć

$$\int x \sin x\,dx$$

Użyj tego samego sposobu rozumowania: wybierz część, która upraszcza się po zróżniczkowaniu, zastosuj wzór jeden raz, a potem zróżniczkuj swój wynik, aby go sprawdzić.