Giá trị tuyệt đối — Định nghĩa và tính chất

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách đến $0$ trên trục số. Với các số thực, điều đó khiến $|x|$ luôn không âm.

Vì thế $|5| = 5$ và $|-5| = 5$. Hai số này nằm ở hai phía đối nhau của $0$, nhưng chúng cách $0$ một khoảng như nhau.

Định nghĩa giá trị tuyệt đối

Với một số thực $x$,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Điều này không có nghĩa là giá trị tuyệt đối "biến mọi thứ thành số dương". Nó giữ nguyên các số không âm và đổi dấu các số âm.

Hãy xem nó như khoảng cách

Cách hình dung tốt nhất là khoảng cách. Khi bạn đọc $|x|$, hãy nghĩ là "khoảng cách từ $x$ đến $0$".

Ý tưởng này cũng giải thích các biểu thức như $|a-b|$. Đó là khoảng cách giữa $a$ và $b$ trên trục số.

Ví dụ,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

nên khoảng cách giữa $2$ và $7$ là $5$.

Các tính chất quan trọng của giá trị tuyệt đối

Đây là những tính chất bạn sẽ dùng thường xuyên nhất:

1. $|x| \ge 0$ với mọi số thực $x$.
2. $|x| = 0$ chỉ khi $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ với các số thực $a$ và $b$.
5. Nếu $b \ne 0$, thì $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

Điều kiện $b \ne 0$ rất quan trọng ở tính chất cuối vì phép chia cho $0$ là không xác định.

Ví dụ mẫu: Giải $|x - 3| = 5$

Phương trình này yêu cầu tìm các số có khoảng cách đến $3$ bằng $5$.

Nếu một số nằm cách $3$ về bên phải $5$ đơn vị, thì

$$x - 3 = 5$$

nên

$$x = 8$$

Nếu một số nằm cách $3$ về bên trái $5$ đơn vị, thì

$$x - 3 = -5$$

nên

$$x = -2$$

Vậy nghiệm là

$$x = 8 \quad \text{hoặc} \quad x = -2$$

Ý tưởng chia thành hai trường hợp này là mẫu chính cần nhớ. Nếu $|u| = k$ và $k > 0$, hãy giải cả hai phương trình $u = k$ và $u = -k$.

Những lỗi thường gặp về giá trị tuyệt đối

Một lỗi phổ biến là nghĩ rằng $|x|$ có thể âm. Điều đó không đúng. Với số thực, giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng $0$.

Một lỗi phổ biến khác là chỉ giải một trường hợp. Trong ví dụ trên, nếu dừng ở $x = 8$ thì bạn sẽ bỏ sót điểm thứ hai cũng cách $3$ đúng $5$ đơn vị.

Học sinh cũng hay nhầm giữa $|-x|$ và $-|x|$. Chúng không giống nhau. Thực tế, $|-x| = |x|$, còn $-|x|$ thì bằng $0$ hoặc âm.

Khi nào dùng giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối xuất hiện khi độ lớn quan trọng hơn hướng.

Bạn sẽ gặp nó trong khoảng cách trên trục số, sai số hoặc độ lệch so với mục tiêu, phương trình và bất phương trình, và các công thức mà chỉ độ lớn cần được giữ lại. Ở các phần toán học nâng cao hơn, nó cũng xuất hiện trong hình học tọa độ, giải tích và số phức, dù ý nghĩa chính xác sẽ phụ thuộc vào ngữ cảnh.

Cách kiểm tra nhanh với phương trình dạng $|u| = k$

Nếu bạn gặp một phương trình như $|u| = k$, hãy kiểm tra vế phải trước.

Nếu $k < 0$, thì không có nghiệm thực vì giá trị tuyệt đối không thể bằng một số âm. Nếu $k = 0$, thì biểu thức bên trong phải bằng $0$. Nếu $k > 0$, hãy nghĩ đến hai trường hợp, trừ khi cả hai trường hợp cho cùng một giá trị.

Thử một bài tương tự về giá trị tuyệt đối

Hãy thử giải $|x + 4| = 9$. Hãy đọc nó là "khoảng cách đến $-4$ là $9$", rồi viết ra hai trường hợp tương ứng. Nếu muốn tự kiểm tra sau khi giải, hãy thay cả hai đáp án vào phương trình ban đầu.