Regole di derivazione — potenza, prodotto, quoziente e catena

Le regole di derivazione ti dicono quale formula di derivazione si adatta alla struttura di una funzione. Se l’espressione è una potenza, un prodotto, un quoziente o una funzione composta, scegli prima la regola per quella struttura esterna. Questa sola abitudine rende molto più semplici la maggior parte dei problemi sulle derivate.

Le principali regole di derivazione e quando usarle

Regola della potenza

Se $n$ è una costante reale, allora

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Esempio: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Usa questa regola quando l’espressione è una semplice potenza di $x$. Se la base non è solo $x$, come in $(3x+1)^5$, entra in gioco anche la regola della catena.

Regola del prodotto

Se $f$ e $g$ sono derivabili, allora

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Usa questa regola quando due espressioni variabili sono moltiplicate. La derivata ha due termini perché ciascun fattore può far cambiare il prodotto.

Regola del quoziente

Se $f$ e $g$ sono derivabili e $g(x) \ne 0$, allora

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Usa questa regola quando un’espressione variabile è divisa per un’altra. La condizione $g(x) \ne 0$ è importante perché la funzione originale non è definita dove il denominatore è zero.

Regola della catena

Se $y = f(g(x))$, e entrambe le funzioni sono derivabili dove serve, allora

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Usa questa regola quando una funzione è dentro un’altra. In parole semplici: deriva la funzione esterna, lascia al suo posto l’espressione interna, poi moltiplica per la derivata dell’espressione interna.

Come capire quale regola di derivazione usare

Non iniziare cercando una formula mandata a memoria. Inizia chiedendoti: qual è la struttura più esterna dell’espressione?

• $x^7$ è una potenza.
• $x^2\sin(x)$ è un prodotto.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ è un quoziente.
• $(2x-1)^4$ oppure $\sin(x^2)$ è una funzione composta, quindi si applica la regola della catena.

Se un’espressione mescola più strutture, inizia da quella esterna. Per esempio, $x(2x-1)^4$ nel complesso è un prodotto, anche se uno dei fattori richiede anche la regola della catena.

Esempio svolto: regola del prodotto con una regola della catena all’interno

Trova la derivata di

$$y = x^2(3x+1)^4$$

La struttura esterna è un prodotto, quindi usa prima la regola del prodotto. Poni

$$f(x) = x^2 \quad \text{e} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Allora

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Deriva il primo fattore:

$$f'(x) = 2x$$

Deriva il secondo fattore con la regola della catena:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Sostituisci entrambe le parti:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Questa è già una risposta finale corretta. Se vuoi una forma fattorizzata più pulita, raccogli i fattori comuni:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

L’idea chiave è l’ordine. Scegli la regola del prodotto dalla struttura esterna, poi usa la regola della catena solo dove serve all’interno del fattore $(3x+1)^4$.

Errori comuni con le regole di derivazione

1. Usare la regola della potenza su tutta l’espressione quando la funzione è in realtà un prodotto o un quoziente.
2. Scrivere la derivata di un prodotto come $f'(x)g'(x)$ invece che come somma di due termini.
3. Dimenticare il segno meno nel numeratore della regola del quoziente.
4. Dimenticare la derivata interna nella regola della catena, per esempio trasformando $(3x+1)^4$ in solo $4(3x+1)^3$.
5. Sviluppare troppo presto e rendere l’algebra più difficile del necessario.

Dove si usano queste regole nel calcolo differenziale

Le regole di derivazione sono importanti ovunque serva un tasso di variazione. In un corso di calcolo differenziale, questo di solito significa pendenze delle tangenti, moto, ottimizzazione e comportamento del grafico. In fisica compaiono in velocità e accelerazione. In ingegneria o in economia aiutano a descrivere come una quantità risponde quando un’altra cambia.

Prova un esercizio simile

Deriva

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

Questo è un buon controllo della struttura perché la forma esterna è un quoziente, mentre il denominatore richiede anche la regola della catena.

Se vuoi un altro confronto molto simile, passa poi a Chain Rule o Product Rule.