Regras de Derivação — Potência, Produto, Quociente e Cadeia

As regras de derivação mostram qual fórmula de diferenciação se ajusta à estrutura de uma função. Se a expressão for uma potência, produto, quociente ou função composta, escolha primeiro a regra para essa estrutura externa. Esse hábito sozinho torna a maioria dos problemas de derivada muito mais fácil.

As principais regras de derivação e quando usar cada uma

Regra da potência

Se $n$ é uma constante real, então

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Exemplo: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Use isso quando a expressão for uma potência simples de $x$. Se a base não for apenas $x$, como em $(3x+1)^5$, a regra da cadeia também entra.

Regra do produto

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Use isso quando duas expressões que variam são multiplicadas. A derivada tem dois termos porque qualquer um dos fatores pode fazer o produto mudar.

Regra do quociente

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis e $g(x) \ne 0$, então

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Use isso quando uma expressão que varia é dividida por outra. A condição $g(x) \ne 0$ importa porque a função original não está definida onde o denominador é zero.

Regra da cadeia

Se $y = f(g(x))$, e ambas as funções são diferenciáveis onde for necessário, então

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Use isso quando uma função está dentro de outra. Em linguagem simples: derive a função de fora, mantenha a expressão interna no lugar e depois multiplique pela derivada da expressão interna.

Como identificar qual regra de derivação usar

Não comece procurando uma fórmula decorada. Comece perguntando: qual é a estrutura mais externa da expressão?

• $x^7$ é uma potência.
• $x^2\sin(x)$ é um produto.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ é um quociente.
• $(2x-1)^4$ ou $\sin(x^2)$ é uma função composta, então a regra da cadeia se aplica.

Se uma expressão mistura estruturas, comece pela parte de fora. Por exemplo, $x(2x-1)^4$ é, no geral, um produto, embora um dos fatores também exija a regra da cadeia.

Exemplo resolvido: regra do produto com regra da cadeia por dentro

Encontre a derivada de

$$y = x^2(3x+1)^4$$

A estrutura externa é um produto, então use primeiro a regra do produto. Seja

$$f(x) = x^2 \quad \text{e} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Então

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Derive o primeiro fator:

$$f'(x) = 2x$$

Derive o segundo fator com a regra da cadeia:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Substitua as duas partes:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Essa já é uma resposta final correta. Se quiser uma forma fatorada mais limpa, coloque os fatores comuns em evidência:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

A ideia principal é a ordem. Escolha a regra do produto a partir da estrutura externa e depois use a regra da cadeia apenas onde ela for necessária dentro do fator $(3x+1)^4$.

Erros comuns com regras de derivação

1. Usar a regra da potência na expressão inteira quando a função na verdade é um produto ou quociente.
2. Escrever a derivada de um produto como $f'(x)g'(x)$ em vez de dois termos somados.
3. Esquecer o sinal de menos no numerador da regra do quociente.
4. Esquecer a derivada interna na regra da cadeia, como transformar $(3x+1)^4$ em apenas $4(3x+1)^3$.
5. Desenvolver a expressão cedo demais e tornar a álgebra mais difícil do que precisa ser.

Onde essas regras são usadas no cálculo

As regras de derivação importam em qualquer situação em que você precise de uma taxa de variação. Em um curso de cálculo, isso normalmente significa inclinações de retas tangentes, movimento, otimização e comportamento do gráfico. Em física, elas aparecem em velocidade e aceleração. Em engenharia ou economia, ajudam a descrever como uma quantidade responde quando outra muda.

Tente um problema parecido

Derive

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

Esse é um bom teste de estrutura porque a forma externa é um quociente, enquanto o denominador também exige a regra da cadeia.

Se quiser outra comparação próxima, veja em seguida Regra da Cadeia ou Regra do Produto.