도함수 공식 — 거듭제곱, 곱, 몫, 연쇄법칙

도함수 공식은 함수의 구조에 어떤 미분 공식을 적용해야 하는지 알려줍니다. 식이 거듭제곱, 곱, 몫, 또는 중첩된 함수라면 먼저 가장 바깥 구조에 맞는 공식을 고르세요. 이 한 가지 습관만으로도 대부분의 미분 문제가 훨씬 쉬워집니다.

주요 도함수 공식과 언제 사용하는지

거듭제곱법칙

$n$이 실수 상수이면,

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

예: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

식이 단순히 $x$의 거듭제곱일 때 사용합니다. 밑이 단순한 $x$가 아니라 $(3x+1)^5$처럼 생겼다면 연쇄법칙도 함께 필요합니다.

곱의 미분법

$f$와 $g$가 미분 가능하면,

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

변하는 두 식이 곱해져 있을 때 사용합니다. 두 인수 중 어느 쪽이든 곱 전체의 변화를 만들 수 있으므로 도함수는 두 항으로 이루어집니다.

몫의 미분법

$f$와 $g$가 미분 가능하고 $g(x) \ne 0$이면,

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

변하는 한 식을 다른 식으로 나누고 있을 때 사용합니다. $g(x) \ne 0$ 조건이 중요한 이유는 분모가 0인 곳에서는 원래 함수가 정의되지 않기 때문입니다.

연쇄법칙

$y = f(g(x))$이고, 필요한 곳에서 두 함수가 모두 미분 가능하면,

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

한 함수가 다른 함수 안에 들어 있을 때 사용합니다. 쉽게 말하면 바깥 함수를 미분하고, 안쪽 식은 그대로 둔 다음, 안쪽 함수의 도함수를 곱하면 됩니다.

어떤 도함수 공식을 써야 하는지 구별하는 방법

외운 공식을 바로 찾으려고 시작하지 마세요. 먼저 이렇게 물어보세요. 이 식의 가장 바깥 구조는 무엇인가?

• $x^7$은 거듭제곱입니다.
• $x^2\sin(x)$는 곱입니다.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$은 몫입니다.
• $(2x-1)^4$ 또는 $\sin(x^2)$는 합성함수이므로 연쇄법칙을 적용합니다.

식에 여러 구조가 섞여 있다면 바깥 구조부터 시작하세요. 예를 들어 $x(2x-1)^4$는 한 인수에 연쇄법칙이 필요하더라도 전체적으로는 곱입니다.

풀이 예제: 안에 연쇄법칙이 들어 있는 곱의 미분법

다음 함수의 도함수를 구해 봅시다.

$$y = x^2(3x+1)^4$$

가장 바깥 구조는 곱이므로 먼저 곱의 미분법을 사용합니다. 다음과 같이 두면

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

그러면

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

첫 번째 인수를 미분하면

$$f'(x) = 2x$$

두 번째 인수는 연쇄법칙으로 미분하면

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

이제 두 부분을 대입하면

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

이 상태로도 이미 올바른 최종 답입니다. 더 깔끔하게 인수분해된 형태를 원하면 공통인수를 묶어

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

로 쓸 수 있습니다.

핵심은 순서입니다. 바깥 구조를 보고 곱의 미분법을 먼저 고른 뒤, 인수 $(3x+1)^4$의 내부에서 필요한 곳에만 연쇄법칙을 적용합니다.

도함수 공식에서 자주 하는 실수

1. 함수가 실제로는 곱이나 몫인데 전체 식에 거듭제곱법칙을 적용하는 것.
2. 곱의 도함수를 두 항의 합이 아니라 $f'(x)g'(x)$로 쓰는 것.
3. 몫의 미분법 분자에서 마이너스 부호를 빼먹는 것.
4. 연쇄법칙에서 안쪽 함수의 도함수를 빠뜨려 $(3x+1)^4$를 그냥 $4(3x+1)^3$으로 바꾸는 것.
5. 너무 일찍 전개해서 계산을 불필요하게 더 복잡하게 만드는 것.

미적분에서 이 공식들이 쓰이는 곳

도함수 공식은 변화율이 필요한 모든 곳에서 중요합니다. 미적분 수업에서는 보통 접선의 기울기, 운동, 최적화, 그래프의 성질을 다룰 때 쓰입니다. 물리에서는 속도와 가속도에 등장합니다. 공학이나 경제학에서는 한 양이 다른 양의 변화에 어떻게 반응하는지 설명하는 데 도움이 됩니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 미분해 보세요.

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

이 문제는 구조를 점검하기에 좋습니다. 바깥 형태는 몫이고, 분모 안에서는 연쇄법칙도 필요하기 때문입니다.

비슷한 내용을 더 비교해 보고 싶다면 다음으로 Chain Rule 또는 Product Rule을 살펴보세요.