Reguły pochodnych — potęgowa, iloczynu, ilorazu i łańcuchowa

Reguły pochodnych mówią, który wzór różniczkowania pasuje do struktury funkcji. Jeśli wyrażenie jest potęgą, iloczynem, ilorazem albo funkcją złożoną, najpierw wybierz regułę dla tej zewnętrznej struktury. Ten jeden nawyk sprawia, że większość zadań z pochodnych staje się dużo prostsza.

Główne reguły pochodnych i kiedy ich używać

Reguła potęgowa

Jeśli $n$ jest stałą rzeczywistą, to

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Przykład: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Używaj jej wtedy, gdy wyrażenie jest zwykłą potęgą zmiennej $x$. Jeśli podstawa nie jest samym $x$, na przykład $(3x+1)^5$, wtedy potrzebna jest też reguła łańcuchowa.

Reguła iloczynu

Jeśli $f$ i $g$ są różniczkowalne, to

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Używaj jej wtedy, gdy mnożone są dwa zmieniające się wyrażenia. Pochodna ma dwa składniki, ponieważ zmiana każdego z czynników może wpływać na zmianę iloczynu.

Reguła ilorazu

Jeśli $f$ i $g$ są różniczkowalne oraz $g(x) \ne 0$, to

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Używaj jej wtedy, gdy jedno zmieniające się wyrażenie jest dzielone przez drugie. Warunek $g(x) \ne 0$ jest ważny, ponieważ funkcja wyjściowa nie jest określona tam, gdzie mianownik jest równy zero.

Reguła łańcuchowa

Jeśli $y = f(g(x))$ i obie funkcje są różniczkowalne tam, gdzie trzeba, to

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Używaj jej wtedy, gdy jedna funkcja znajduje się wewnątrz drugiej. Mówiąc prościej: zróżniczkuj funkcję zewnętrzną, pozostawiając wyrażenie wewnętrzne na miejscu, a potem pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Jak rozpoznać, której reguły pochodnej użyć

Nie zaczynaj od szukania zapamiętanego wzoru. Zacznij od pytania: jaka jest najbardziej zewnętrzna struktura wyrażenia?

• $x^7$ to potęga.
• $x^2\sin(x)$ to iloczyn.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ to iloraz.
• $(2x-1)^4$ albo $\sin(x^2)$ to funkcja złożona, więc stosujemy regułę łańcuchową.

Jeśli wyrażenie łączy kilka struktur, zacznij od tej zewnętrznej. Na przykład $x(2x-1)^4$ jest ogólnie iloczynem, mimo że jeden z czynników także wymaga reguły łańcuchowej.

Przykład rozwiązany: reguła iloczynu z regułą łańcuchową w środku

Wyznacz pochodną funkcji

$$y = x^2(3x+1)^4$$

Zewnętrzna struktura to iloczyn, więc najpierw stosujemy regułę iloczynu. Niech

$$f(x) = x^2 \quad \text{oraz} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Wtedy

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Różniczkujemy pierwszy czynnik:

$$f'(x) = 2x$$

Różniczkujemy drugi czynnik za pomocą reguły łańcuchowej:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Podstawiamy obie części:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

To już jest poprawna odpowiedź końcowa. Jeśli chcesz uzyskać prostszą postać po wyłączeniu wspólnego czynnika, wyciągnij wspólne elementy:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Najważniejsza jest kolejność. Wybierasz regułę iloczynu na podstawie zewnętrznej struktury, a potem używasz reguły łańcuchowej tylko tam, gdzie jest potrzebna wewnątrz czynnika $(3x+1)^4$.

Typowe błędy przy regułach pochodnych

1. Zastosowanie reguły potęgowej do całego wyrażenia, gdy funkcja jest w rzeczywistości iloczynem albo ilorazem.
2. Zapisanie pochodnej iloczynu jako $f'(x)g'(x)$ zamiast sumy dwóch składników.
3. Zapomnienie o znaku minus w liczniku reguły ilorazu.
4. Pominięcie pochodnej funkcji wewnętrznej w regule łańcuchowej, na przykład zamiana $(3x+1)^4$ tylko na $4(3x+1)^3$.
5. Zbyt wczesne rozwijanie wyrażenia i niepotrzebne utrudnianie rachunków algebraicznych.

Gdzie te reguły są używane w analizie matematycznej

Reguły pochodnych są ważne wszędzie tam, gdzie potrzebujesz tempa zmian. Na kursie analizy matematycznej zwykle oznacza to nachylenie stycznej, ruch, optymalizację i badanie przebiegu wykresu. W fizyce pojawiają się przy prędkości i przyspieszeniu. W inżynierii lub ekonomii pomagają opisać, jak jedna wielkość reaguje na zmianę innej.

Spróbuj podobnego zadania

Oblicz pochodną funkcji

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

To dobre ćwiczenie na rozpoznanie struktury, ponieważ zewnętrzna postać to iloraz, a mianownik dodatkowo wymaga reguły łańcuchowej.

Jeśli chcesz porównać to z bardzo podobnym przypadkiem, przejdź dalej do Chain Rule albo Product Rule.