微分の公式 — べき乗・積・商・連鎖律

微分の公式は、関数の形に応じてどの微分法を使うべきかを教えてくれます。式がべき、積、商、または入れ子になった関数なら、まずはいちばん外側の形に合う公式を選びます。この習慣だけで、多くの微分の問題はかなり解きやすくなります。

主な微分の公式と使う場面

べき乗の微分法

$n$ を実数定数とすると、

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

例：$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$。

式が $x$ の単純なべきになっているときに使います。ただし、底が単なる $x$ ではなく $(3x+1)^5$ のような形なら、連鎖律も関係します。

積の微分法

$f$ と $g$ が微分可能なら、

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

2つの変化する式が掛け算されているときに使います。どちらの因子の変化でも積全体が変わるので、微分結果は2項になります。

商の微分法

$f$ と $g$ が微分可能で、$g(x) \ne 0$ なら、

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

1つの変化する式を別の変化する式で割っているときに使います。$g(x) \ne 0$ という条件が大切なのは、分母が 0 のところでは元の関数が定義されないからです。

連鎖律

$y = f(g(x))$ で、必要なところで両方の関数が微分可能なら、

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

ある関数が別の関数の内側に入っているときに使います。言い換えると、外側の関数を微分し、内側の式はそのまま残し、最後に内側の微分を掛けます。

どの微分公式を使うか見分ける方法

暗記した公式を探すところから始めないでください。まず、「この式のいちばん外側の形は何か？」と考えます。

• $x^7$ はべきです。
• $x^2\sin(x)$ は積です。
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ は商です。
• $(2x-1)^4$ や $\sin(x^2)$ は合成関数なので、連鎖律を使います。

式の中に複数の構造が混ざっている場合でも、まずは外側から見ます。たとえば $x(2x-1)^4$ は、片方の因子に連鎖律が必要でも、全体としては積です。

例題：積の微分法の中で連鎖律を使う

次の関数を微分します。

$$y = x^2(3x+1)^4$$

いちばん外側の形は積なので、まず積の微分法を使います。次のようにおきます。

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

すると、

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

まず1つ目の因子を微分すると、

$$f'(x) = 2x$$

次に2つ目の因子は連鎖律で微分します。

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

両方を代入すると、

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

これで正しい最終答案です。もっと見やすく因数分解した形にしたければ、共通因子をくくり出します。

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

大事なのは順番です。まず外側の構造から積の微分法を選び、そのあとで $(3x+1)^4$ の部分に必要なところだけ連鎖律を使います。

微分の公式でよくあるミス

1. 実際には積や商なのに、式全体にべき乗の微分法を使ってしまう。
2. 積の微分を、2項の和ではなく $f'(x)g'(x)$ と書いてしまう。
3. 商の微分法の分子にあるマイナス符号を忘れる。
4. 連鎖律で内側の微分を忘れ、$(3x+1)^4$ をただ $4(3x+1)^3$ にしてしまう。
5. 早い段階で展開してしまい、必要以上に計算を複雑にする。

これらの公式が微積分で使われる場面

微分の公式は、変化の割合が必要なあらゆる場面で重要です。微積分の授業では、ふつう接線の傾き、運動、最適化、グラフの変化を調べるときに使います。物理では速度や加速度に現れます。工学や経済学では、ある量が別の量の変化にどう反応するかを表すのに役立ちます。

似た問題に挑戦してみよう

次を微分してください。

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

これは構造の見分け方を確認するのによい問題です。外側は商ですが、分母には連鎖律も必要です。

近い内容を続けて学ぶなら、次に Chain Rule や Product Rule を見てみましょう。