Reglas de derivación — potencia, producto, cociente y cadena

Las reglas de derivación te indican qué fórmula de diferenciación se ajusta a la estructura de una función. Si la expresión es una potencia, un producto, un cociente o una función compuesta, elige primero la regla para esa estructura externa. Ese solo hábito hace que la mayoría de los problemas de derivadas sean mucho más fáciles.

Las principales reglas de derivación y cuándo usarlas

Regla de la potencia

Si $n$ es una constante real, entonces

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Ejemplo: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Usa esta regla cuando la expresión sea una potencia simple de $x$. Si la base no es solo $x$, como en $(3x+1)^5$, también interviene la regla de la cadena.

Regla del producto

Si $f$ y $g$ son derivables, entonces

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Usa esta regla cuando se multiplican dos expresiones que cambian. La derivada tiene dos términos porque cualquiera de los dos factores puede hacer que el producto cambie.

Regla del cociente

Si $f$ y $g$ son derivables y $g(x) \ne 0$, entonces

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Usa esta regla cuando una expresión que cambia se divide entre otra. La condición $g(x) \ne 0$ importa porque la función original no está definida donde el denominador es cero.

Regla de la cadena

Si $y = f(g(x))$, y ambas funciones son derivables donde haga falta, entonces

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Usa esta regla cuando una función está dentro de otra. En lenguaje sencillo: deriva la función externa, deja la expresión interna en su lugar y luego multiplica por la derivada de la expresión interna.

Cómo saber qué regla de derivación usar

No empieces buscando una fórmula memorizada. Empieza preguntando: ¿cuál es la estructura más externa de la expresión?

• $x^7$ es una potencia.
• $x^2\sin(x)$ es un producto.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ es un cociente.
• $(2x-1)^4$ o $\sin(x^2)$ es una función compuesta, así que se aplica la regla de la cadena.

Si una expresión mezcla estructuras, empieza por la externa. Por ejemplo, $x(2x-1)^4$ es en conjunto un producto, aunque uno de los factores también necesite la regla de la cadena.

Ejemplo resuelto: regla del producto con una regla de la cadena dentro

Halla la derivada de

$$y = x^2(3x+1)^4$$

La estructura externa es un producto, así que primero usamos la regla del producto. Sea

$$f(x) = x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Entonces

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Deriva el primer factor:

$$f'(x) = 2x$$

Deriva el segundo factor con la regla de la cadena:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Sustituye ambas partes:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Esta ya es una respuesta final correcta. Si quieres una forma factorizada más limpia, saca los factores comunes:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

La idea clave es el orden. Elige la regla del producto a partir de la estructura externa y luego usa la regla de la cadena solo donde haga falta dentro del factor $(3x+1)^4$.

Errores comunes con las reglas de derivación

1. Usar la regla de la potencia en toda la expresión cuando la función en realidad es un producto o un cociente.
2. Escribir la derivada de un producto como $f'(x)g'(x)$ en lugar de dos términos sumados.
3. Olvidar el signo menos en el numerador de la regla del cociente.
4. Olvidar la derivada interna en la regla de la cadena, como convertir $(3x+1)^4$ en solo $4(3x+1)^3$.
5. Desarrollar demasiado pronto y hacer el álgebra más difícil de lo necesario.

Dónde se usan estas reglas en cálculo

Las reglas de derivación importan en cualquier situación en la que necesites una tasa de cambio. En un curso de cálculo, eso normalmente significa pendientes de tangentes, movimiento, optimización y comportamiento de gráficas. En física, aparecen en velocidad y aceleración. En ingeniería o economía, ayudan a describir cómo responde una cantidad cuando cambia otra.

Prueba un problema parecido

Deriva

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

Este es un buen ejercicio para revisar la estructura, porque la forma externa es un cociente, mientras que el denominador también necesita la regla de la cadena.

Si quieres otra comparación cercana, explora Regla de la cadena o Regla del producto a continuación.