กฎอนุพันธ์ — Power, Product, Quotient และ Chain Rule

กฎอนุพันธ์ช่วยบอกว่าสูตรการดิฟเฟอเรนเชียลแบบใดเหมาะกับโครงสร้างของฟังก์ชัน ถ้านิพจน์เป็นกำลัง ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันซ้อน ให้เลือกกฎที่ตรงกับโครงสร้างชั้นนอกก่อนเสมอ นิสัยข้อนี้เพียงอย่างเดียวช่วยให้โจทย์อนุพันธ์ส่วนใหญ่ง่ายขึ้นมาก

กฎอนุพันธ์หลักและใช้เมื่อไร

Power rule

ถ้า $n$ เป็นค่าคงที่จริง จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

ตัวอย่าง: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

ใช้กฎนี้เมื่อนิพจน์เป็นกำลังของ $x$ แบบตรง ๆ ถ้าฐานไม่ได้เป็นแค่ $x$ เช่น $(3x+1)^5$ ก็ต้องใช้ chain rule ร่วมด้วย

Product rule

ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

ใช้กฎนี้เมื่อมีนิพจน์ที่เปลี่ยนแปลงได้สองตัวคูณกัน อนุพันธ์จึงมีสองพจน์ เพราะตัวประกอบแต่ละตัวต่างก็ทำให้ผลคูณเปลี่ยนได้

Quotient rule

ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ และ $g(x) \ne 0$ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

ใช้กฎนี้เมื่อนิพจน์ที่เปลี่ยนแปลงได้ตัวหนึ่งถูกหารด้วยอีกตัวหนึ่ง เงื่อนไข $g(x) \ne 0$ สำคัญ เพราะฟังก์ชันเดิมจะไม่มีนิยามตรงจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์

Chain rule

ถ้า $y = f(g(x))$ และทั้งสองฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ในช่วงที่เกี่ยวข้อง จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

ใช้กฎนี้เมื่อฟังก์ชันหนึ่งอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง พูดง่าย ๆ คือ หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอก โดยคงนิพจน์ชั้นในไว้ก่อน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นใน

จะดูอย่างไรว่าควรใช้กฎอนุพันธ์ข้อไหน

อย่าเพิ่งเริ่มจากการนึกหาสูตรที่ท่องจำไว้ ให้เริ่มจากการถามว่า โครงสร้างชั้นนอกสุดของนิพจน์คืออะไร

• $x^7$ เป็นกำลัง
• $x^2\sin(x)$ เป็นผลคูณ
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ เป็นผลหาร
• $(2x-1)^4$ หรือ $\sin(x^2)$ เป็นฟังก์ชันประกอบ ดังนั้นต้องใช้ chain rule

ถ้านิพจน์มีหลายโครงสร้างปนกัน ให้เริ่มจากโครงสร้างชั้นนอกก่อน ตัวอย่างเช่น $x(2x-1)^4$ โดยรวมเป็นผลคูณ แม้ว่าหนึ่งในตัวประกอบจะต้องใช้ chain rule ด้วยก็ตาม

ตัวอย่างทำโจทย์: product rule ที่มี chain rule อยู่ข้างใน

จงหาอนุพันธ์ของ

$$y = x^2(3x+1)^4$$

โครงสร้างชั้นนอกเป็นผลคูณ ดังนั้นให้ใช้ product rule ก่อน กำหนดให้

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

แล้วจะได้ว่า

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

หาอนุพันธ์ของตัวประกอบตัวแรก:

$$f'(x) = 2x$$

หาอนุพันธ์ของตัวประกอบตัวที่สองด้วย chain rule:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

แทนค่าทั้งสองส่วนลงไป:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

นี่เป็นคำตอบสุดท้ายที่ถูกต้องแล้ว ถ้าต้องการรูปที่แยกตัวประกอบได้เรียบร้อยขึ้น ให้ดึงส่วนที่ซ้ำกันออกมา:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

แนวคิดสำคัญคือ ลำดับการเลือกใช้กฎ ให้เลือก product rule จากโครงสร้างชั้นนอกก่อน แล้วค่อยใช้ chain rule เฉพาะในส่วนที่จำเป็นภายในตัวประกอบ $(3x+1)^4$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับกฎอนุพันธ์

1. ใช้ power rule กับทั้งนิพจน์ ทั้งที่จริงแล้วฟังก์ชันเป็นผลคูณหรือผลหาร
2. เขียนอนุพันธ์ของผลคูณเป็น $f'(x)g'(x)$ แทนที่จะเป็นผลบวกของสองพจน์
3. ลืมเครื่องหมายลบในตัวเศษของ quotient rule
4. ลืมอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นในใน chain rule เช่น เปลี่ยน $(3x+1)^4$ เป็นแค่ $4(3x+1)^3$
5. กระจายนิพจน์เร็วเกินไปจนทำให้พีชคณิตยุ่งยากกว่าที่จำเป็น

กฎเหล่านี้ถูกใช้ตรงไหนในแคลคูลัส

กฎอนุพันธ์สำคัญทุกครั้งที่คุณต้องการหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ในวิชาแคลคูลัส มักเกี่ยวข้องกับความชันของเส้นสัมผัส การเคลื่อนที่ การหาค่าสูงสุดต่ำสุด และพฤติกรรมของกราฟ ในฟิสิกส์ กฎเหล่านี้ปรากฏในเรื่องความเร็วและความเร่ง ส่วนในวิศวกรรมหรือเศรษฐศาสตร์ กฎเหล่านี้ช่วยอธิบายว่าปริมาณหนึ่งตอบสนองอย่างไรเมื่ออีกปริมาณหนึ่งเปลี่ยนไป

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

จงหาอนุพันธ์ของ

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

ข้อนี้เหมาะสำหรับฝึกตรวจโครงสร้าง เพราะรูปชั้นนอกเป็นผลหาร ขณะที่ตัวส่วนก็ต้องใช้ chain rule ด้วย

ถ้าต้องการเปรียบเทียบกับโจทย์ใกล้เคียงอีกข้อ ลองดู Chain Rule หรือ Product Rule ต่อได้เลย