Türev Kuralları — Kuvvet, Çarpım, Bölüm ve Zincir

Türev kuralları, bir fonksiyonun yapısına hangi türev alma formülünün uyduğunu gösterir. İfade bir kuvvet, çarpım, bölüm ya da iç içe fonksiyon ise önce bu dış yapıya uygun kuralı seçin. Bu tek alışkanlık, çoğu türev sorusunu çok daha kolay hale getirir.

Temel türev kuralları ve ne zaman kullanılırlar

Kuvvet kuralı

Eğer $n$ bir gerçek sabitse, o zaman

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Örnek: $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Bunu, ifade $x$'in sade bir kuvveti olduğunda kullanın. Taban yalnızca $x$ değilse, örneğin $(3x+1)^5$ gibi, zincir kuralı da devreye girer.

Çarpım kuralı

Eğer $f$ ve $g$ türevlenebilirse, o zaman

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Bunu, değişen iki ifade çarpıldığında kullanın. Türevde iki terim vardır çünkü çarpımın değişmesine her iki çarpan da neden olabilir.

Bölüm kuralı

Eğer $f$ ve $g$ türevlenebilirse ve $g(x) \ne 0$ ise, o zaman

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Bunu, değişen bir ifade başka bir değişen ifadeye bölündüğünde kullanın. $g(x) \ne 0$ koşulu önemlidir çünkü payda sıfır olduğunda başlangıçtaki fonksiyon tanımsızdır.

Zincir kuralı

Eğer $y = f(g(x))$ ise ve her iki fonksiyon da gereken yerlerde türevlenebilirse, o zaman

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Bunu, bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içinde olduğunda kullanın. Basitçe söylemek gerekirse: dıştaki fonksiyonun türevini alın, içteki ifadeyi olduğu gibi bırakın, sonra içteki ifadenin türeviyle çarpın.

Hangi türev kuralının kullanılacağını nasıl anlarsınız?

Ezberlenmiş bir formül arayarak başlamayın. Şunu sorarak başlayın: ifadenin en dıştaki yapısı nedir?

• $x^7$ bir kuvvettir.
• $x^2\sin(x)$ bir çarpımdır.
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ bir bölümdür.
• $(2x-1)^4$ ya da $\sin(x^2)$ bileşik fonksiyondur, bu yüzden zincir kuralı uygulanır.

Bir ifade birden fazla yapı içeriyorsa, dıştakiyle başlayın. Örneğin $x(2x-1)^4$ genel olarak bir çarpımdır, her ne kadar çarpanlardan biri ayrıca zincir kuralı gerektirse de.

Çözümlü örnek: içinde zincir kuralı olan çarpım kuralı

Aşağıdaki ifadenin türevini bulun:

$$y = x^2(3x+1)^4$$

Dış yapı bir çarpım olduğu için önce çarpım kuralını kullanın. Şöyle tanımlayalım:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

O zaman

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Birinci çarpanın türevini alın:

$$f'(x) = 2x$$

İkinci çarpanın türevini zincir kuralıyla alın:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Her iki kısmı yerine yazın:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Bu zaten doğru bir son cevaptır. Daha düzenli bir çarpanlara ayrılmış biçim isterseniz, ortak çarpanları dışarı alabilirsiniz:

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Buradaki temel fikir sıradır. Dış yapıdan çarpım kuralını seçin, sonra zincir kuralını yalnızca $(3x+1)^4$ çarpanının içinde gerektiği yerde kullanın.

Türev kurallarında sık yapılan hatalar

1. Fonksiyon aslında bir çarpım ya da bölüm olduğu halde tüm ifadeye kuvvet kuralını uygulamak.
2. Bir çarpımın türevini iki terimin toplamı yerine $f'(x)g'(x)$ olarak yazmak.
3. Bölüm kuralında paydaki eksi işaretini unutmak.
4. Zincir kuralında iç türevi unutmak; örneğin $(3x+1)^4$ ifadesini yalnızca $4(3x+1)^3$ yapmak.
5. İfadeyi çok erken açıp cebiri gereğinden zorlaştırmak.

Bu kurallar kalkülüste nerelerde kullanılır?

Türev kuralları, değişim oranına ihtiyaç duyduğunuz her yerde önemlidir. Bir kalkülüs dersinde bu genellikle teğet eğimleri, hareket, optimizasyon ve grafik davranışı anlamına gelir. Fizikte hız ve ivmede karşınıza çıkar. Mühendislikte ya da ekonomide ise bir büyüklüğün başka bir büyüklük değiştiğinde nasıl tepki verdiğini açıklamaya yardımcı olurlar.

Benzer bir soru deneyin

Aşağıdaki ifadenin türevini alın:

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

Bu, yapı kontrolü için iyi bir örnektir çünkü dış biçim bir bölümdür, ama payda da ayrıca zincir kuralı gerektirir.

Yakın bir karşılaştırma daha isterseniz, sıradaki Chain Rule veya Product Rule konularına göz atın.