Cấp số cộng và tổng cấp số cộng

Một cấp số cộng thay đổi cùng một lượng ở mỗi bước. Lượng thay đổi cố định đó gọi là công sai. Tổng cấp số cộng là tổng các số hạng của một cấp số cộng.

Nếu số hạng đầu là $a_1$ và công sai là $d$, thì số hạng thứ $n$ là

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Nếu bạn muốn tính tổng $n$ số hạng đầu, dùng công thức

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Công thức tính tổng này áp dụng khi bạn cộng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng. Nếu bạn chưa biết số hạng cuối, trước hết có thể tìm $a_n$ bằng công thức số hạng tổng quát.

Cách Nhận Biết Một Cấp Số Cộng

Một dãy chỉ là cấp số cộng khi hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi.

Ví dụ, $4, 7, 10, 13, 16$ là cấp số cộng vì mỗi số hạng tăng thêm $3$. Điều đó có nghĩa là công sai $d = 3$.

Ngược lại, $5, 9, 14, 20$ không phải là cấp số cộng vì các hiệu lần lượt là $4$, $5$ và $6$. Vì hiệu thay đổi nên không thể áp dụng các công thức của cấp số cộng.

Cấp Số Cộng Và Tổng Cấp Số Cộng

Sự phân biệt này quan trọng vì một dạng bài hỏi một số hạng, còn dạng kia hỏi tổng.

Cấp số cộng là chính dãy số theo thứ tự. Tổng cấp số cộng là kết quả khi cộng các số hạng trong dãy đó lại.

Với $2, 5, 8, 11$, dãy là $2, 5, 8, 11$. Tổng tương ứng là

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Ví Dụ Giải Chi Tiết: Tìm Số Hạng Thứ $20$ Và Tổng $20$ Số Hạng Đầu

Xét cấp số cộng

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Ở đây, $a_1 = 5$ và $d = 3$.

Tìm Số Hạng Thứ $20$

Dùng

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Thay $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Vậy số hạng thứ $20$ là $62$.

Tìm Tổng $20$ Số Hạng Đầu

Bây giờ dùng

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

với $n = 20$, $a_1 = 5$ và $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Vậy tổng $20$ số hạng đầu là $670$.

Vì Sao Công Thức Tổng Cấp Số Cộng Đúng

Số hạng đầu và số hạng cuối có cùng giá trị trung bình như số hạng thứ hai và số hạng áp chót, và quy luật đó tiếp tục vào phía trong. Trong một cấp số cộng, các cặp như vậy luôn có cùng tổng.

Vì thế, tổng có thể được viết là

$$\text{số lượng số hạng} \times \text{trung bình của số hạng đầu và số hạng cuối}$$

tức là

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Ý tưởng này chỉ đúng khi các số hạng thuộc một cấp số cộng, nên điều kiện công sai không đổi là rất quan trọng.

Những Lỗi Thường Gặp Với Công Thức Cấp Số Cộng Và Tổng Cấp Số Cộng

Nhầm Lẫn Giữa $n$ Và $d$

$n$ cho biết vị trí hoặc số lượng số hạng. $d$ là công sai không đổi. Chúng giữ những vai trò khác nhau trong công thức.

Quên $(n - 1)$

Công thức số hạng là

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

không phải $a_1 + nd$. Chỉ có $n - 1$ bước nhảy từ số hạng đầu đến số hạng thứ $n$.

Dùng Công Thức Tính Tổng Cho Một Dãy Không Phải Cấp Số Cộng

Nếu các hiệu không cố định, đừng dùng công thức tổng cấp số cộng. Hãy kiểm tra quy luật trước.

Bỏ Mất Dấu Của Công Sai

Nếu dãy giảm dần thì $d$ là số âm. Ví dụ, trong $12, 9, 6, 3$, công sai là $-3$, không phải $3$.

Khi Nào Cấp Số Cộng Và Tổng Cấp Số Cộng Được Sử Dụng

Cấp số cộng xuất hiện khi một đại lượng thay đổi một lượng không đổi ở mỗi bước. Những ví dụ quen thuộc gồm tiết kiệm cùng một số tiền mỗi tháng, các hàng ghế tăng thêm một số lượng cố định, và các bài toán đại số dựa trên tăng trưởng tuyến tính.

Chúng hữu ích khi sự thay đổi là cộng thêm chứ không phải nhân lên. Nếu mỗi bước nhân với cùng một hệ số thay vì cộng cùng một lượng, thì đó là một cấp số nhân.

Thử Một Bài Tương Tự

Dùng dãy $18, 15, 12, 9, \ldots$ để tìm công sai, số hạng thứ $12$, và tổng $12$ số hạng đầu.

Nếu muốn luyện thêm, hãy giải cùng kiểu bài đó cho một cấp số nhân và so sánh điều gì thay đổi khi quy luật là nhân với hằng số thay vì cộng với hằng số.