Sequência e Série Aritmética

Uma sequência aritmética muda pela mesma quantidade a cada passo. Essa variação fixa é a razão. Uma série aritmética é a soma dos termos de uma sequência aritmética.

Se o primeiro termo é $a_1$ e a razão é $d$, o $n$-ésimo termo é

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Se você quiser a soma dos primeiros $n$ termos, use

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Essa fórmula da soma se aplica quando você está somando os primeiros $n$ termos de uma sequência aritmética. Se você ainda não souber o último termo, pode primeiro encontrar $a_n$ com a fórmula do termo.

Como Reconhecer Uma Sequência Aritmética

Uma sequência é aritmética apenas se a diferença entre termos consecutivos permanecer constante.

Por exemplo, $4, 7, 10, 13, 16$ é aritmética porque cada termo aumenta em $3$. Isso significa que a razão é $d = 3$.

Em contraste, $5, 9, 14, 20$ não é aritmética porque as diferenças são $4$, $5$ e $6$. Como a diferença muda, as fórmulas da progressão aritmética não se aplicam.

Sequência Aritmética Vs. Série Aritmética

Essa distinção importa porque uma pergunta pede um termo e a outra pede um total.

Uma sequência aritmética é a própria lista ordenada. Uma série aritmética é o resultado de somar os termos dessa lista.

Para $2, 5, 8, 11$, a sequência é $2, 5, 8, 11$. A série correspondente é

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Exemplo Resolvido: Encontre o $20$º Termo e a Soma dos Primeiros $20$ Termos

Considere a sequência aritmética

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Aqui, $a_1 = 5$ e $d = 3$.

Encontre o $20$º Termo

Use

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Substitua $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Então, o $20$º termo é $62$.

Encontre a Soma dos Primeiros $20$ Termos

Agora use

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

com $n = 20$, $a_1 = 5$ e $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Então, a soma dos primeiros $20$ termos é $670$.

Por Que a Fórmula da Série Aritmética Funciona

O primeiro e o último termo têm a mesma média que o segundo e o penúltimo termos, e o mesmo padrão continua para dentro. Em uma sequência aritmética, esses pares sempre somam o mesmo total.

É por isso que a soma pode ser escrita como

$$\text{número de termos} \times \text{média do primeiro e do último termo}$$

o que se torna

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Essa ideia só funciona quando os termos vêm de uma sequência aritmética, então a condição de diferença constante é importante.

Erros Comuns Com Fórmulas de Sequência e Série Aritmética

Confundir $n$ e $d$

$n$ conta a posição ou o número de termos. $d$ é a diferença constante. Eles têm funções diferentes nas fórmulas.

Esquecer o $(n - 1)$

A fórmula do termo é

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

e não $a_1 + nd$. Existem apenas $n - 1$ saltos do primeiro termo até o $n$-ésimo termo.

Usar a Fórmula da Soma em uma Lista Não Aritmética

Se as diferenças não forem constantes, não use a fórmula da série aritmética. Verifique o padrão primeiro.

Perder o Sinal da Diferença

Se a sequência diminui, então $d$ é negativo. Por exemplo, em $12, 9, 6, 3$, a razão é $-3$, e não $3$.

Quando Sequências e Séries Aritméticas São Usadas

Sequências aritméticas aparecem sempre que uma quantidade muda por um valor constante a cada passo. Exemplos comuns incluem guardar a mesma quantia todo mês, fileiras de assentos que aumentam por um número fixo e problemas de álgebra baseados em crescimento linear.

Elas são úteis quando a mudança é aditiva, e não multiplicativa. Se cada passo multiplica pelo mesmo fator em vez de somar a mesma quantidade, então você está lidando com uma sequência geométrica.

Tente um Problema Parecido

Use a sequência $18, 15, 12, 9, \ldots$ para encontrar a razão, o $12$º termo e a soma dos primeiros $12$ termos.

Se quiser um bom exercício em seguida, resolva o mesmo tipo de problema para uma sequência geométrica e compare o que muda quando o padrão é uma multiplicação constante em vez de uma adição constante.