Sucesión y serie aritmética

Una sucesión aritmética cambia en la misma cantidad en cada paso. Ese cambio fijo es la diferencia común. Una serie aritmética es la suma de los términos de una sucesión aritmética.

Si el primer término es $a_1$ y la diferencia común es $d$, el término $n$-ésimo es

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Si quieres la suma de los primeros $n$ términos, usa

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Esta fórmula de suma se aplica cuando estás sumando los primeros $n$ términos de una sucesión aritmética. Si todavía no conoces el último término, primero puedes hallar $a_n$ con la fórmula del término general.

Cómo reconocer una sucesión aritmética

Una sucesión es aritmética solo si la diferencia entre términos consecutivos se mantiene constante.

Por ejemplo, $4, 7, 10, 13, 16$ es aritmética porque cada término aumenta en $3$. Eso significa que la diferencia común es $d = 3$.

En cambio, $5, 9, 14, 20$ no es aritmética porque las diferencias son $4$, $5$ y $6$. Como la diferencia cambia, las fórmulas aritméticas no se aplican.

Sucesión aritmética vs. serie aritmética

Esta distinción importa porque una pregunta pide un término y la otra pide un total.

Una sucesión aritmética es la lista ordenada en sí. Una serie aritmética es el resultado de sumar los términos de esa lista.

Para $2, 5, 8, 11$, la sucesión es $2, 5, 8, 11$. La serie correspondiente es

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Ejemplo resuelto: hallar el término $20$ y la suma de los primeros $20$ términos

Considera la sucesión aritmética

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Aquí, $a_1 = 5$ y $d = 3$.

Hallar el término $20$

Usa

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Sustituye $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Así que el término $20$ es $62$.

Hallar la suma de los primeros $20$ términos

Ahora usa

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

con $n = 20$, $a_1 = 5$ y $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Así que la suma de los primeros $20$ términos es $670$.

Por qué funciona la fórmula de la serie aritmética

El primer y el último término tienen el mismo promedio que el segundo y el penúltimo, y el mismo patrón continúa hacia adentro. En una sucesión aritmética, esas parejas siempre suman el mismo total.

Por eso la suma puede escribirse como

$$\text{número de términos} \times \text{promedio del primer y último término}$$

que se convierte en

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Esta idea funciona solo cuando los términos provienen de una sucesión aritmética, así que la condición de diferencia constante es importante.

Errores comunes con las fórmulas de sucesiones y series aritméticas

Confundir $n$ y $d$

$n$ indica la posición o el número de términos. $d$ es la diferencia constante. Cumplen funciones distintas en las fórmulas.

Olvidar el $(n - 1)$

La fórmula del término general es

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

no $a_1 + nd$. Solo hay $n - 1$ saltos desde el primer término hasta el término $n$-ésimo.

Usar la fórmula de la suma en una lista no aritmética

Si las diferencias no son constantes, no uses la fórmula de la serie aritmética. Revisa primero el patrón.

Perder el signo de la diferencia

Si la sucesión disminuye, entonces $d$ es negativa. Por ejemplo, en $12, 9, 6, 3$, la diferencia común es $-3$, no $3$.

Cuándo se usan las sucesiones y series aritméticas

Las sucesiones aritméticas aparecen siempre que una cantidad cambia en una cantidad constante en cada paso. Algunos ejemplos comunes incluyen ahorrar la misma cantidad cada mes, filas de asientos que aumentan en un número fijo y problemas de álgebra basados en crecimiento lineal.

Son útiles cuando el cambio es aditivo y no multiplicativo. Si en cada paso se multiplica por el mismo factor en lugar de sumar la misma cantidad, entonces se trata de una sucesión geométrica.

Prueba un problema similar

Usa la sucesión $18, 15, 12, 9, \ldots$ para hallar la diferencia común, el término $12$ y la suma de los primeros $12$ términos.

Si quieres una continuación útil, resuelve el mismo tipo de problema para una sucesión geométrica y compara qué cambia cuando el patrón es una multiplicación constante en lugar de una suma constante.