Suite arithmétique et série arithmétique

Une suite arithmétique varie de la même quantité à chaque étape. Cette variation fixe s'appelle la raison. Une série arithmétique est la somme des termes d'une suite arithmétique.

Si le premier terme est $a_1$ et la raison est $d$, alors le $n$-ième terme est

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Si vous voulez la somme des $n$ premiers termes, utilisez

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Cette formule de somme s'applique lorsque vous additionnez les $n$ premiers termes d'une suite arithmétique. Si vous ne connaissez pas encore le dernier terme, vous pouvez d'abord trouver $a_n$ avec la formule du terme général.

Comment reconnaître une suite arithmétique

Une suite est arithmétique seulement si la différence entre deux termes consécutifs reste constante.

Par exemple, $4, 7, 10, 13, 16$ est une suite arithmétique parce que chaque terme augmente de $3$. Cela signifie que la raison est $d = 3$.

En revanche, $5, 9, 14, 20$ n'est pas une suite arithmétique parce que les différences sont $4$, $5$ et $6$. Comme la différence change, les formules arithmétiques ne s'appliquent pas.

Suite arithmétique vs série arithmétique

Cette distinction est importante, car dans un cas on demande un terme et dans l'autre on demande un total.

Une suite arithmétique est la liste ordonnée elle-même. Une série arithmétique est le résultat de l'addition des termes de cette liste.

Pour $2, 5, 8, 11$, la suite est $2, 5, 8, 11$. La série correspondante est

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Exemple détaillé : trouver le $20$-ième terme et la somme des $20$ premiers termes

Considérons la suite arithmétique

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Ici, $a_1 = 5$ et $d = 3$.

Trouver le $20$-ième terme

Utilisez

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Remplacez $n$ par $20$ :

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Donc, le $20$-ième terme est $62$.

Trouver la somme des $20$ premiers termes

Utilisez maintenant

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

avec $n = 20$, $a_1 = 5$ et $a_{20} = 62$ :

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Donc, la somme des $20$ premiers termes est $670$.

Pourquoi la formule de la série arithmétique fonctionne

Le premier et le dernier terme ont la même moyenne que le deuxième et l'avant-dernier, et le même schéma continue vers l'intérieur. Dans une suite arithmétique, ces paires donnent toujours la même somme.

C'est pourquoi la somme peut s'écrire

$$\text{nombre de termes} \times \text{moyenne du premier et du dernier terme}$$

ce qui devient

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Cette idée fonctionne seulement lorsque les termes proviennent d'une suite arithmétique, donc la condition de différence constante est essentielle.

Erreurs fréquentes avec les formules des suites et séries arithmétiques

Confondre $n$ et $d$

$n$ indique la position ou le nombre de termes. $d$ est la différence constante. Ils jouent des rôles différents dans les formules.

Oublier le $(n - 1)$

La formule du terme est

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

et non $a_1 + nd$. Il n'y a que $n - 1$ écarts entre le premier terme et le $n$-ième terme.

Utiliser la formule de somme pour une liste non arithmétique

Si les différences ne sont pas constantes, n'utilisez pas la formule de la série arithmétique. Vérifiez d'abord le motif.

Oublier le signe de la différence

Si la suite décroît, alors $d$ est négatif. Par exemple, dans $12, 9, 6, 3$, la raison est $-3$, et non $3$.

Quand utilise-t-on les suites et séries arithmétiques

Les suites arithmétiques apparaissent chaque fois qu'une quantité change d'une valeur constante à chaque étape. Parmi les exemples courants, on trouve l'épargne du même montant chaque mois, des rangées de sièges qui augmentent d'un nombre fixe, et des problèmes d'algèbre fondés sur une croissance linéaire.

Elles sont utiles lorsque la variation est additive plutôt que multiplicative. Si chaque étape multiplie par le même facteur au lieu d'ajouter la même quantité, il s'agit alors d'une suite géométrique.

Essayez un problème similaire

Utilisez la suite $18, 15, 12, 9, \ldots$ pour trouver la raison, le $12$-ième terme et la somme des $12$ premiers termes.

Si vous voulez un bon exercice de prolongement, résolvez le même type de problème pour une suite géométrique et comparez ce qui change lorsque le motif est une multiplication constante plutôt qu'une addition constante.