Công thức tính tổng dãy số

Có hai loại công thức tính tổng dãy số được sử dụng phổ biến nhất: tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng và tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân. Khi làm bài, bạn đừng vội áp dụng công thức ngay mà hãy xác định quy luật của dãy số trước. Nếu hiệu của hai số hạng liên tiếp là cố định, hãy dùng công thức tính tổng cấp số cộng; nếu tỉ số của hai số hạng liên tiếp là cố định, hãy dùng công thức tính tổng cấp số nhân.

Hai công thức tính tổng dãy số cần nắm vững

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng là:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Nếu biết công sai $d$, công thức có thể viết thành:

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân khi $q \ne 1$ là:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

Trong đó $a_1$ là số hạng đầu, $a_n$ là số hạng thứ $n$, và $q$ là công bội. Công thức cấp số nhân cũng thường được viết là:

$S_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}$

Hai cách viết này là tương đương, chỉ là đổi dấu cả tử số và mẫu số.

Xác định loại dãy số trước khi tính tổng

Khi nhìn thấy một chuỗi số, trước hết hãy xem xét mối quan hệ giữa hai số hạng liên tiếp. Ví dụ, $3, 7, 11, 15$ mỗi lần đều cộng thêm $4$, nên đó là cấp số cộng. Tương tự, $2, 6, 18, 54$ mỗi lần đều nhân với $3$, nên đó là cấp số nhân.

Bước này quan trọng hơn cả việc học thuộc công thức. Một khi xác định sai loại dãy số, toàn bộ bài toán tính tổng phía sau thường sẽ bị sai hướng.

Tại sao công thức tính tổng cấp số cộng lại tự nhiên như vậy

Cấp số cộng rất dễ áp dụng vì sau khi ghép cặp số đầu và số cuối, tổng của mỗi cặp đều bằng nhau. Giả sử một dãy số nhìn từ trước ra sau là:

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n$

Nhìn ngược lại là:

$a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots,\ a_1$

Khi cộng các vị trí tương ứng, mỗi cặp đều có giá trị là $a_1 + a_n$. Do đó, hai lần tổng là:

$2S_n = n(a_1 + a_n)$

Vì vậy:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Đây chính là nguồn gốc trực quan nhất của công thức tính tổng cấp số cộng.

Ví dụ: Tìm số hạng trước, sau đó tính tổng n số hạng đầu

Tính tổng của cấp số cộng $5, 8, 11, \dots, 32$.

Đầu tiên, xác định loại dãy số. Hai số hạng liên tiếp đều tăng thêm $3$, nên đây là cấp số cộng.

Các giá trị đã biết là:

• Số hạng đầu $a_1 = 5$
• Số hạng cuối $a_n = 32$
• Công sai $d = 3$

Điểm dễ bị bỏ sót nhất ở đây là: đề bài cho số hạng cuối $32$, nhưng không cho trực tiếp số lượng số hạng $n$. Vì vậy, trước tiên cần dùng công thức số hạng tổng quát để tìm $n$:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Thay số vào ta được:

$32 = 5 + (n-1)\cdot 3$

$27 = 3(n-1)$

$n-1 = 9$

$n = 10$

Bây giờ mới thay vào công thức tính tổng:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}$

$S_{10} = 5 \cdot 37 = 185$

Vậy tổng của nhóm số này là $185$.

Điểm mấu chốt của ví dụ này không phải là áp dụng công thức, mà là nhận ra $n$ chưa được cho sẵn và cần phải tự tìm trước.

Khi nào sử dụng tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Nếu mỗi số hạng đều bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số, hãy cân nhắc đến cấp số nhân.

Ví dụ dãy số:

$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32$

Số hạng đầu là $2$, công bội là $2$, nên tổng $5$ số hạng đầu là:

$S_5 = 2\frac{1-2^5}{1-2}$

$S_5 = 2\frac{1-32}{-1} = 62$

Bạn cũng có thể kiểm tra bằng cách cộng trực tiếp:

$2+4+8+16+32 = 62$

Nếu $q = 1$, mẫu số sẽ trở thành $0$, khi đó không thể áp dụng trực tiếp công thức tính tổng cấp số nhân. Vì mọi số hạng đều bằng nhau, nên tổng $n$ số hạng đầu sẽ được viết đơn giản là:

$S_n = na_1$

Những lỗi thường gặp nhất

Nhầm lẫn giữa "số hạng cuối" và "số lượng số hạng"

"Tính đến $32$ thì dừng" nghĩa là số hạng cuối cùng là $32$, chứ không có nghĩa là có tổng cộng $32$ số hạng. Giống như ví dụ trên, bạn phải thông qua mối quan hệ số hạng tổng quát để tìm ra $n$.

Chỉ nhìn độ lớn của con số mà bỏ qua quy luật

Một số dãy số nhìn có vẻ "tăng trưởng nhanh" nên dễ bị phán đoán nhầm là cấp số nhân; hoặc có người chỉ nhìn hai số hạng đầu đã vội vàng kết luận. Cách an toàn hơn là so sánh hiệu hoặc tỉ số của các số hạng liên tiếp.

Quên kiểm tra điều kiện của công thức cấp số nhân

Công thức:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

Chỉ áp dụng trực tiếp khi $q \ne 1$. Nếu $q = 1$, bạn nên chuyển sang dùng $S_n = na_1$.

Ứng dụng của tính tổng dãy số

Tính tổng dãy số thường xuất hiện trong các bài toán đại số trung học, bài tập cơ bản trước khi học phương pháp quy nạp toán học, cũng như trong các mô hình trả góp và lãi suất kép trong tài chính. Chỉ cần đề bài đưa ra một chuỗi các giá trị rời rạc có quy luật và yêu cầu tính tổng, thì tính tổng dãy số thường là công cụ cốt lõi.

Hãy thử tự làm một bài tập

Hãy thử tính tổng của dãy số $4, 9, 14, 19, 24$. Trước tiên hãy xác định xem nó có phải là cấp số cộng hay không, sau đó quyết định xem có thể dùng trực tiếp $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ hay không.

Sau khi làm xong, hãy thử một phiên bản cấp số nhân, ví dụ như tính tổng $4$ số hạng đầu của $3, 6, 12, 24$. Làm hai bài này cùng lúc sẽ giúp bạn nhanh chóng nhận ra sự khác biệt giữa "hiệu cố định" và "tỉ số cố định".