Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika berubah dengan selisih yang sama pada setiap langkah. Perubahan tetap itu disebut beda. Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmetika.

Jika suku pertama adalah $a_1$ dan bedanya $d$, maka suku ke-$n$ adalah

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Jika kamu ingin mencari jumlah $n$ suku pertama, gunakan

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Rumus jumlah ini berlaku saat kamu menjumlahkan $n$ suku pertama dari barisan aritmetika. Jika kamu belum mengetahui suku terakhir, kamu bisa mencari $a_n$ terlebih dahulu dengan rumus suku ke-$n$.

Cara Mengenali Barisan Aritmetika

Suatu barisan disebut aritmetika hanya jika selisih antara suku-suku yang berurutan tetap konstan.

Sebagai contoh, $4, 7, 10, 13, 16$ adalah barisan aritmetika karena setiap suku bertambah $3$. Artinya, bedanya adalah $d = 3$.

Sebaliknya, $5, 9, 14, 20$ bukan barisan aritmetika karena selisihnya adalah $4$, $5$, dan $6$. Karena selisihnya berubah, rumus aritmetika tidak berlaku.

Barisan Aritmetika Vs. Deret Aritmetika

Perbedaan ini penting karena satu pertanyaan meminta suatu suku, sedangkan yang lain meminta jumlah total.

Barisan aritmetika adalah daftar suku yang berurutan itu sendiri. Deret aritmetika adalah hasil penjumlahan suku-suku dalam daftar tersebut.

Untuk $2, 5, 8, 11$, barisannya adalah $2, 5, 8, 11$. Deret yang bersesuaian adalah

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Contoh Soal: Cari Suku Ke-$20$ dan Jumlah $20$ Suku Pertama

Perhatikan barisan aritmetika berikut

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Di sini, $a_1 = 5$ dan $d = 3$.

Cari Suku Ke-$20$

Gunakan

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Substitusikan $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Jadi, suku ke-$20$ adalah $62$.

Cari Jumlah $20$ Suku Pertama

Sekarang gunakan

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

dengan $n = 20$, $a_1 = 5$, dan $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Jadi, jumlah $20$ suku pertama adalah $670$.

Mengapa Rumus Deret Aritmetika Bekerja

Suku pertama dan suku terakhir memiliki rata-rata yang sama dengan suku kedua dan suku kedua dari belakang, dan pola yang sama terus berlanjut ke bagian dalam. Dalam barisan aritmetika, pasangan-pasangan itu selalu menghasilkan jumlah yang sama.

Itulah sebabnya jumlah dapat ditulis sebagai

$$\text{banyak suku} \times \text{rata-rata suku pertama dan terakhir}$$

yang menjadi

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Gagasan ini hanya berlaku jika suku-sukunya berasal dari barisan aritmetika, jadi syarat beda tetap sangat penting.

Kesalahan Umum pada Rumus Barisan dan Deret Aritmetika

Tertukar Antara $n$ dan $d$

$n$ menyatakan posisi atau banyaknya suku. $d$ adalah beda tetap. Keduanya memiliki peran yang berbeda dalam rumus.

Lupa Faktor $(n - 1)$

Rumus suku ke-$n$ adalah

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

bukan $a_1 + nd$. Hanya ada $n - 1$ lompatan dari suku pertama ke suku ke-$n$.

Menggunakan Rumus Jumlah pada Daftar yang Bukan Aritmetika

Jika selisihnya tidak tetap, jangan gunakan rumus deret aritmetika. Periksa polanya terlebih dahulu.

Salah Menentukan Tanda Beda

Jika barisan menurun, maka $d$ bernilai negatif. Misalnya, pada $12, 9, 6, 3$, bedanya adalah $-3$, bukan $3$.

Kapan Barisan dan Deret Aritmetika Digunakan

Barisan aritmetika muncul ketika suatu besaran berubah dengan jumlah tetap pada setiap langkah. Contoh yang umum antara lain menabung jumlah yang sama setiap bulan, baris kursi yang bertambah dengan jumlah tetap, dan soal aljabar yang dibangun dari pertumbuhan linear.

Konsep ini berguna ketika perubahan bersifat penjumlahan, bukan perkalian. Jika setiap langkah dikalikan dengan faktor yang sama alih-alih ditambah dengan jumlah yang sama, maka itu adalah barisan geometri.

Coba Soal Serupa

Gunakan barisan $18, 15, 12, 9, \ldots$ untuk mencari beda, suku ke-$12$, dan jumlah $12$ suku pertama.

Jika kamu ingin latihan lanjutan yang berguna, selesaikan jenis soal yang sama untuk barisan geometri dan bandingkan apa yang berubah ketika polanya berupa perkalian tetap, bukan penjumlahan tetap.