Αριθμητική Πρόοδος και Αριθμητική Σειρά

Μια αριθμητική ακολουθία μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσό σε κάθε βήμα. Αυτή η σταθερή μεταβολή λέγεται κοινή διαφορά. Μια αριθμητική σειρά είναι το άθροισμα όρων μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αν ο πρώτος όρος είναι $a_1$ και η κοινή διαφορά είναι $d$, τότε ο $n$οστός όρος είναι

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Αν θέλεις το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων, χρησιμοποίησε

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Αυτός ο τύπος αθροίσματος ισχύει όταν προσθέτεις τους πρώτους $n$ όρους μιας αριθμητικής ακολουθίας. Αν δεν γνωρίζεις ήδη τον τελευταίο όρο, μπορείς πρώτα να βρεις το $a_n$ με τον τύπο του όρου.

Πώς να αναγνωρίσεις μια αριθμητική ακολουθία

Μια ακολουθία είναι αριθμητική μόνο αν η διαφορά μεταξύ διαδοχικών όρων παραμένει σταθερή.

Για παράδειγμα, η $4, 7, 10, 13, 16$ είναι αριθμητική, επειδή κάθε όρος αυξάνεται κατά $3$. Αυτό σημαίνει ότι η κοινή διαφορά είναι $d = 3$.

Αντίθετα, η $5, 9, 14, 20$ δεν είναι αριθμητική, επειδή οι διαφορές είναι $4$, $5$ και $6$. Αφού η διαφορά αλλάζει, οι αριθμητικοί τύποι δεν εφαρμόζονται.

Αριθμητική ακολουθία vs. αριθμητική σειρά

Αυτή η διάκριση έχει σημασία, επειδή η μία ερώτηση ζητά έναν όρο και η άλλη ζητά ένα συνολικό άθροισμα.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι η ίδια η διατεταγμένη λίστα. Μια αριθμητική σειρά είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των όρων αυτής της λίστας.

Για την $2, 5, 8, 11$, η ακολουθία είναι $2, 5, 8, 11$. Η αντίστοιχη σειρά είναι

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Λυμένο παράδειγμα: Βρες τον $20$ό όρο και το άθροισμα των πρώτων $20$ όρων

Θεώρησε την αριθμητική ακολουθία

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Εδώ, $a_1 = 5$ και $d = 3$.

Βρες τον $20$ό όρο

Χρησιμοποίησε

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Αντικατέστησε $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Άρα ο $20$ός όρος είναι $62$.

Βρες το άθροισμα των πρώτων $20$ όρων

Τώρα χρησιμοποίησε

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

με $n = 20$, $a_1 = 5$ και $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Άρα το άθροισμα των πρώτων $20$ όρων είναι $670$.

Γιατί λειτουργεί ο τύπος της αριθμητικής σειράς

Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος έχουν τον ίδιο μέσο όρο με τον δεύτερο και τον προτελευταίο όρο, και το ίδιο μοτίβο συνεχίζεται προς το εσωτερικό. Σε μια αριθμητική ακολουθία, αυτά τα ζεύγη δίνουν πάντα το ίδιο άθροισμα.

Γι’ αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως

$$\text{αριθμός όρων} \times \text{μέσος όρος πρώτου και τελευταίου όρου}$$

που γίνεται

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Αυτή η ιδέα λειτουργεί μόνο όταν οι όροι προέρχονται από αριθμητική ακολουθία, οπότε η συνθήκη της σταθερής διαφοράς είναι σημαντική.

Συνηθισμένα λάθη με τους τύπους αριθμητικής ακολουθίας και σειράς

Μπέρδεμα του $n$ και του $d$

Το $n$ μετρά τη θέση ή τον αριθμό των όρων. Το $d$ είναι η σταθερή διαφορά. Έχουν διαφορετικό ρόλο στους τύπους.

Να ξεχνάς το $(n - 1)$

Ο τύπος του όρου είναι

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

και όχι $a_1 + nd$. Υπάρχουν μόνο $n - 1$ μεταβάσεις από τον πρώτο όρο μέχρι τον $n$οστό όρο.

Χρήση του τύπου αθροίσματος σε μη αριθμητική λίστα

Αν οι διαφορές δεν είναι σταθερές, μην χρησιμοποιείς τον τύπο της αριθμητικής σειράς. Έλεγξε πρώτα το μοτίβο.

Να χάνεις το πρόσημο της διαφοράς

Αν η ακολουθία μειώνεται, τότε το $d$ είναι αρνητικό. Για παράδειγμα, στην $12, 9, 6, 3$, η κοινή διαφορά είναι $-3$, όχι $3$.

Πότε χρησιμοποιούνται οι αριθμητικές ακολουθίες και σειρές

Οι αριθμητικές ακολουθίες εμφανίζονται κάθε φορά που ένα μέγεθος αλλάζει κατά σταθερό ποσό σε κάθε βήμα. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι η αποταμίευση του ίδιου ποσού κάθε μήνα, σειρές καθισμάτων που αυξάνονται κατά σταθερό αριθμό και προβλήματα άλγεβρας που βασίζονται σε γραμμική αύξηση.

Είναι χρήσιμες όταν η μεταβολή είναι προσθετική και όχι πολλαπλασιαστική. Αν κάθε βήμα πολλαπλασιάζει με τον ίδιο παράγοντα αντί να προσθέτει το ίδιο ποσό, τότε έχεις να κάνεις με γεωμετρική ακολουθία.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Χρησιμοποίησε την ακολουθία $18, 15, 12, 9, \ldots$ για να βρεις την κοινή διαφορά, τον $12$ο όρο και το άθροισμα των πρώτων $12$ όρων.

Αν θέλεις μια χρήσιμη συνέχεια, λύσε το ίδιο είδος προβλήματος για μια γεωμετρική ακολουθία και σύγκρινε τι αλλάζει όταν το μοτίβο είναι σταθερός πολλαπλασιασμός αντί για σταθερή πρόσθεση.