Dãy số và chuỗi số — Cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hòa & hội tụ

Dãy số là một danh sách các số được sắp theo thứ tự. Chuỗi số là kết quả khi bạn cộng các số hạng của dãy đó. Trong chủ đề này, AP là cấp số cộng, GP là cấp số nhân, HP là cấp số điều hòa, còn hội tụ xét xem các số hạng hoặc các tổng riêng phần có tiến tới một giá trị hữu hạn hay không.

Nếu cần bản ngắn gọn: AP có hiệu không đổi, GP có tỉ số không đổi, còn HP là dãy số mà các số nghịch đảo của nó tạo thành một AP. Với chuỗi hình học vô hạn, tổng chỉ tồn tại khi $|r| < 1$.

Dãy số và chuỗi số: xác định đúng câu hỏi cần trả lời

Nếu bạn viết dãy

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

thì đó là một dãy số. Nếu bạn viết tổng

$$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$$

thì đó là một chuỗi số.

Sự khác biệt đó cho biết bạn cần dùng công cụ nào. “Tìm số hạng thứ $n$” là câu hỏi về dãy số. “Tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên” là câu hỏi về chuỗi số.

AP, GP và HP: cách nhận biết từng dạng

Cấp số cộng (AP)

Một AP thay đổi cùng một lượng ở mỗi bước. Nếu số hạng đầu là $a$ và công sai là $d$, thì

$$a_n = a + (n-1)d$$

và tổng của $n$ số hạng đầu là

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$$

hoặc tương đương

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$

Ví dụ: $4, 7, 10, 13, \dots$ là một AP vì mỗi số hạng tăng thêm $3$.

Cấp số nhân (GP)

Một GP thay đổi theo cùng một hệ số ở mỗi bước. Nếu số hạng đầu là $a$ và công bội là $r$, thì

$$a_n = ar^{n-1}$$

và với $r \ne 1$,

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Với chuỗi hình học vô hạn, tổng chỉ tồn tại khi $|r| < 1$. Khi đó,

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

Ví dụ: $3, 6, 12, 24, \dots$ là một GP vì mỗi số hạng được nhân với $2$.

Cấp số điều hòa (HP)

Một HP được xác định thông qua các số nghịch đảo. Một dãy khác $0$ gồm $a_1, a_2, a_3, \dots$ là HP nếu

$$\frac{1}{a_1},\ \frac{1}{a_2},\ \frac{1}{a_3},\dots$$

là một AP.

Vì vậy nếu

$$\frac{1}{a_n} = A + (n-1)d$$

với mẫu số khác $0$, thì

$$a_n = \frac{1}{A + (n-1)d}$$

Ví dụ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots$ là một HP vì các số nghịch đảo của nó là $2, 4, 6, 8, \dots$, tạo thành một AP.

HP chủ yếu là một khái niệm phân loại trong toán học phổ thông. Không giống AP và GP, nó không có một công thức tổng nhập môn tiêu chuẩn được dùng trong hầu hết các bài toán cơ bản.

Hội tụ: khi một quá trình vô hạn có giới hạn hữu hạn

Một dãy số hội tụ nếu các số hạng của nó tiến tới một giới hạn cố định.

Ví dụ,

$$\frac{1}{n} \to 0 \quad \text{as } n \to \infty$$

nên dãy $\left(\frac{1}{n}\right)$ hội tụ về $0$.

Một chuỗi số hội tụ nếu các tổng riêng phần của nó tiến tới một giới hạn cố định. Nếu

$$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

và các số $S_n$ tiến tới một giá trị hữu hạn nào đó là $S$, thì chuỗi vô hạn hội tụ đến $S$.

Đây là điểm mà nhiều học sinh hay nhầm: một dãy hội tụ không tự động tạo ra một chuỗi hội tụ. Việc các số hạng tiến về $0$ là điều kiện cần để chuỗi hội tụ, nhưng chỉ riêng điều đó thì chưa đủ.

Chẳng hạn, dãy điều hòa

$$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\dots$$

thật sự hội tụ về $0$ nếu xét như một dãy số hạng, nhưng chuỗi điều hòa

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

lại không hội tụ đến một tổng hữu hạn.

Ví dụ giải sẵn: kiểm tra một GP và tính tổng chuỗi vô hạn

Xét chuỗi hình học vô hạn

$$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots$$

Chuỗi này xuất phát từ GP

$$6,\ 3,\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{4},\dots$$

Ở đây số hạng đầu là $a = 6$ và công bội là

$$r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Vì $|r| = \frac{1}{2} < 1$, chuỗi vô hạn này hội tụ. Tổng của nó là

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

Bước quan trọng là kiểm tra điều kiện trước khi dùng công thức. Nếu $|r| < 1$, chuỗi hình học vô hạn hội tụ. Nếu $|r| \ge 1$, nó không hội tụ đến một tổng hữu hạn.

Những lỗi thường gặp với dãy số, chuỗi số và hội tụ

Nhầm giữa một số hạng và một tổng

Số hạng $a_5$ và tổng $S_5$ không phải cùng một kiểu đáp án. Một cái là một số hạng trong dãy. Cái kia là một tổng.

Dùng phép thử hiệu cho một GP

Nếu quy luật là nhân với $2$, thì đó là cấp số nhân dù các số đang tăng đều. Hiệu không đổi và tỉ số không đổi là hai cách kiểm tra khác nhau.

Quên điều kiện hội tụ của GP vô hạn

Công thức

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

chỉ đúng khi $|r| < 1$.

Nghĩ rằng “các số hạng tiến về 0” là đủ

Với chuỗi số, đó chỉ là bước kiểm tra đầu tiên. Chuỗi điều hòa là phản ví dụ kinh điển.

Xem HP là “bất kỳ dãy nào có phân số”

HP không chỉ là một dãy gồm các phân số. Các số nghịch đảo của nó phải tạo thành một AP.

Ứng dụng của AP, GP, HP và hội tụ

AP mô hình hóa sự thay đổi cộng đều, chẳng hạn tiết kiệm cùng một số tiền mỗi tháng. GP mô hình hóa sự nhân lặp lại, như tăng trưởng kép hoặc suy giảm lặp lại. HP xuất hiện trong đại số phổ thông và trong các bài toán mà quan hệ nghịch đảo là quy luật tự nhiên.

Hội tụ quan trọng bất cứ khi nào quá trình là vô hạn hoặc rất dài. Nó xuất hiện trong chuỗi vô hạn, các phương pháp xấp xỉ, tài chính và các chủ đề nâng cao hơn như chuỗi lũy thừa và giải tích.

Thử một bài tương tự

Xét GP

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\dots$$

Hãy tìm công bội, rồi quyết định xem chuỗi vô hạn $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ có hội tụ hay không. Sau đó, so sánh nó với AP $8, 4, 0, -4, \dots$ để thấy phép kiểm tra “hiệu hay tỉ số” tách hai dạng này nhanh như thế nào.

Nếu muốn làm thêm một bước, hãy tự tạo phiên bản của riêng bạn với số hạng đầu và công bội khác, rồi kiểm tra điều kiện hội tụ trước khi tính bất kỳ tổng vô hạn nào.