Arithmetische Folge und Reihe

Eine arithmetische Folge verändert sich bei jedem Schritt um denselben Betrag. Diese feste Veränderung heißt konstante Differenz. Eine arithmetische Reihe ist die Summe von Gliedern einer arithmetischen Folge.

Wenn das erste Glied $a_1$ und die konstante Differenz $d$ ist, dann lautet das $n$-te Glied

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Wenn du die Summe der ersten $n$ Glieder berechnen willst, verwende

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Diese Summenformel gilt, wenn du die ersten $n$ Glieder einer arithmetischen Folge addierst. Wenn du das letzte Glied noch nicht kennst, kannst du zuerst mit der Gliedformel $a_n$ berechnen.

So erkennt man eine arithmetische Folge

Eine Folge ist nur dann arithmetisch, wenn die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant bleibt.

Zum Beispiel ist $4, 7, 10, 13, 16$ arithmetisch, weil jedes Glied um $3$ zunimmt. Das bedeutet, die konstante Differenz ist $d = 3$.

Im Gegensatz dazu ist $5, 9, 14, 20$ nicht arithmetisch, weil die Differenzen $4$, $5$ und $6$ sind. Da sich die Differenz ändert, sind die arithmetischen Formeln hier nicht anwendbar.

Arithmetische Folge vs. arithmetische Reihe

Dieser Unterschied ist wichtig, weil die eine Frage nach einem Glied fragt und die andere nach einer Summe.

Eine arithmetische Folge ist die geordnete Liste selbst. Eine arithmetische Reihe ist das Ergebnis, wenn man die Glieder dieser Liste addiert.

Für $2, 5, 8, 11$ ist die Folge $2, 5, 8, 11$. Die zugehörige Reihe ist

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Beispiel: Das $20$-te Glied und die Summe der ersten $20$ Glieder finden

Betrachte die arithmetische Folge

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Hier gilt $a_1 = 5$ und $d = 3$.

Das $20$-te Glied finden

Verwende

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Setze $n = 20$ ein:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Also ist das $20$-te Glied $62$.

Die Summe der ersten $20$ Glieder finden

Verwende nun

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

mit $n = 20$, $a_1 = 5$ und $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Also ist die Summe der ersten $20$ Glieder $670$.

Warum die Formel für die arithmetische Reihe funktioniert

Das erste und das letzte Glied haben denselben Durchschnitt wie das zweite und das vorletzte Glied, und dieses Muster setzt sich nach innen fort. In einer arithmetischen Folge ergeben diese Paare immer dieselbe Summe.

Deshalb kann man die Summe schreiben als

$$\text{Anzahl der Glieder} \times \text{Durchschnitt aus erstem und letztem Glied}$$

und daraus wird

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Diese Idee funktioniert nur, wenn die Glieder aus einer arithmetischen Folge stammen. Deshalb ist die Bedingung einer konstanten Differenz so wichtig.

Häufige Fehler bei Formeln für arithmetische Folgen und Reihen

$n$ und $d$ verwechseln

$n$ gibt die Position oder die Anzahl der Glieder an. $d$ ist die konstante Differenz. In den Formeln haben sie unterschiedliche Aufgaben.

Das $(n - 1)$ vergessen

Die Gliedformel lautet

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

nicht $a_1 + nd$. Vom ersten Glied bis zum $n$-ten Glied gibt es nur $n - 1$ Sprünge.

Die Summenformel auf eine nicht arithmetische Liste anwenden

Wenn die Differenzen nicht konstant sind, verwende nicht die Formel für die arithmetische Reihe. Prüfe zuerst das Muster.

Das Vorzeichen der Differenz verlieren

Wenn die Folge abnimmt, dann ist $d$ negativ. Zum Beispiel ist bei $12, 9, 6, 3$ die konstante Differenz $-3$ und nicht $3$.

Wann arithmetische Folgen und Reihen verwendet werden

Arithmetische Folgen tauchen immer dann auf, wenn sich eine Größe bei jedem Schritt um einen konstanten Betrag verändert. Häufige Beispiele sind das Sparen desselben Betrags pro Monat, Sitzreihen, die jeweils um eine feste Anzahl wachsen, und Algebraaufgaben mit linearem Wachstum.

Sie sind nützlich, wenn die Veränderung additiv und nicht multiplikativ ist. Wenn jeder Schritt mit demselben Faktor multipliziert wird, statt denselben Betrag zu addieren, handelt es sich stattdessen um eine geometrische Folge.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Verwende die Folge $18, 15, 12, 9, \ldots$, um die konstante Differenz, das $12$-te Glied und die Summe der ersten $12$ Glieder zu bestimmen.

Wenn du eine sinnvolle Anschlussaufgabe möchtest, löse dieselbe Art von Problem für eine geometrische Folge und vergleiche, was sich ändert, wenn das Muster aus konstanter Multiplikation statt konstanter Addition besteht.