Successioni e serie aritmetiche

Una successione aritmetica cambia della stessa quantità a ogni passaggio. Questa variazione fissa si chiama ragione. Una serie aritmetica è la somma dei termini di una successione aritmetica.

Se il primo termine è $a_1$ e la ragione è $d$, il termine $n$-esimo è

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Se vuoi la somma dei primi $n$ termini, usa

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Questa formula della somma si applica quando stai sommando i primi $n$ termini di una successione aritmetica. Se non conosci già l'ultimo termine, puoi prima trovare $a_n$ con la formula del termine generale.

Come riconoscere una successione aritmetica

Una successione è aritmetica solo se la differenza tra termini consecutivi resta costante.

Per esempio, $4, 7, 10, 13, 16$ è una successione aritmetica perché ogni termine aumenta di $3$. Questo significa che la ragione è $d = 3$.

Al contrario, $5, 9, 14, 20$ non è una successione aritmetica perché le differenze sono $4$, $5$ e $6$. Poiché la differenza cambia, le formule aritmetiche non si applicano.

Successione aritmetica vs. serie aritmetica

Questa distinzione è importante perché una domanda chiede un termine, mentre l'altra chiede un totale.

Una successione aritmetica è l'elenco ordinato dei termini. Una serie aritmetica è il risultato dell'addizione dei termini di quell'elenco.

Per $2, 5, 8, 11$, la successione è $2, 5, 8, 11$. La serie corrispondente è

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Esempio svolto: trova il $20$º termine e la somma dei primi $20$ termini

Considera la successione aritmetica

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Qui, $a_1 = 5$ e $d = 3$.

Trova il $20$º termine

Usa

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Sostituisci $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Quindi il $20$º termine è $62$.

Trova la somma dei primi $20$ termini

Ora usa

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

con $n = 20$, $a_1 = 5$ e $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Quindi la somma dei primi $20$ termini è $670$.

Perché funziona la formula della serie aritmetica

Il primo e l'ultimo termine hanno la stessa media del secondo e del penultimo termine, e lo stesso schema continua verso l'interno. In una successione aritmetica, queste coppie danno sempre la stessa somma.

Per questo la somma può essere scritta come

$$\text{numero di termini} \times \text{media del primo e dell'ultimo termine}$$

che diventa

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Questa idea funziona solo quando i termini provengono da una successione aritmetica, quindi la condizione della differenza costante è fondamentale.

Errori comuni con le formule di successioni e serie aritmetiche

Confondere $n$ e $d$

$n$ indica la posizione oppure il numero di termini. $d$ è la differenza costante. Nelle formule hanno ruoli diversi.

Dimenticare il $(n - 1)$

La formula del termine è

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

non $a_1 + nd$. Ci sono solo $n - 1$ passaggi dal primo termine al termine $n$-esimo.

Usare la formula della somma su una lista non aritmetica

Se le differenze non sono costanti, non usare la formula della serie aritmetica. Controlla prima lo schema.

Perdere il segno della differenza

Se la successione diminuisce, allora $d$ è negativo. Per esempio, in $12, 9, 6, 3$, la ragione è $-3$, non $3$.

Quando si usano successioni e serie aritmetiche

Le successioni aritmetiche compaiono ogni volta che una quantità cambia di un valore costante a ogni passaggio. Esempi comuni sono risparmiare la stessa somma ogni mese, file di posti che aumentano di un numero fisso e problemi di algebra basati su una crescita lineare.

Sono utili quando la variazione è additiva invece che moltiplicativa. Se a ogni passaggio si moltiplica per lo stesso fattore invece di aggiungere la stessa quantità, allora si tratta di una successione geometrica.

Prova un problema simile

Usa la successione $18, 15, 12, 9, \ldots$ per trovare la ragione, il $12$º termine e la somma dei primi $12$ termini.

Se vuoi un buon esercizio successivo, risolvi lo stesso tipo di problema per una successione geometrica e confronta cosa cambia quando lo schema è una moltiplicazione costante invece di un'addizione costante.