Cấp số nhân và chuỗi hình học

Một cấp số nhân nhân với cùng một công bội ở mỗi bước. Một chuỗi hình học là tổng các số hạng của cấp số đó. Nếu số hạng đầu là $a_1$ và công bội là $r$, thì công thức số hạng tổng quát là $a_n = a_1r^{n-1}$, và công thức tổng hữu hạn là $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ khi $r \ne 1$.

Ví dụ, $3, 6, 12, 24$ là một cấp số nhân vì mỗi số hạng được tìm bằng cách nhân với $2$. Dùng công thức cấp số khi bạn muốn tìm một số hạng. Dùng công thức chuỗi khi bạn muốn tìm tổng của nhiều số hạng.

Điều gì làm cho một dãy là cấp số nhân

Ý chính là công bội không đổi. Trong cấp số cộng, bạn cộng cùng một lượng mỗi lần. Trong cấp số nhân, bạn nhân với cùng một lượng mỗi lần.

Nếu số hạng đầu là $a_1$ và công bội là $r$, thì

$$a_n = a_1r^{n-1}$$

Nếu $r$ âm, các dấu sẽ luân phiên. Nếu giá trị tuyệt đối của $r$ nhỏ hơn $1$, độ lớn của các số hạng sẽ nhỏ dần.

Cấp số nhân và chuỗi hình học khác nhau thế nào

Cấp số nhân là danh sách các số hạng. Chuỗi hình học là tổng của các số hạng đó.

Sự khác nhau này quan trọng vì câu hỏi sẽ quyết định bạn cần tính gì. “Tìm số hạng thứ năm” yêu cầu một giá trị của dãy. “Tìm tổng năm số hạng đầu” yêu cầu một giá trị của chuỗi.

Ví dụ có lời giải: Tìm một số hạng và một tổng hữu hạn

Xét cấp số nhân

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$$

Ở đây, $a_1 = 3$ và $r = 2$.

Để tìm số hạng thứ năm:

$$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Để tìm tổng năm số hạng đầu, cộng trực tiếp các số hạng:

$$S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$$

Bạn cũng có thể dùng công thức tổng của chuỗi hình học hữu hạn:

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Với ví dụ này,

$$S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = 93$$

Khi nào công thức chuỗi hình học dùng được

Với một chuỗi hình học hữu hạn, công thức

$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

dùng được khi $r \ne 1$.

Nếu $r = 1$, mọi số hạng đều giống nhau, nên tổng chỉ là

$$S_n = na_1$$

Với một chuỗi hình học vô hạn, chỉ có tổng hữu hạn khi giá trị tuyệt đối của $r$ nhỏ hơn $1$.

Những lỗi thường gặp

1. Dùng công sai thay vì công bội.
2. Nhầm lẫn giữa câu hỏi tìm số hạng và câu hỏi tìm tổng.
3. Dùng công thức tổng hữu hạn khi $r = 1$, dẫn đến chia cho $0$.
4. Quên rằng công bội âm làm các dấu luân phiên.

Khi nào cấp số nhân và chuỗi hình học được dùng

Các mẫu hình học xuất hiện khi sự thay đổi diễn ra theo một hệ số không đổi. Điều đó bao gồm tăng gấp đôi, giảm theo phần trăm lặp lại, tăng trưởng lũy kế và một số ý tưởng về chuỗi vô hạn trong giải tích.

Tự thử một ví dụ

Hãy thử một dãy mới với số hạng đầu là $5$ và công bội là $\frac{1}{2}$. Tìm bốn số hạng đầu, rồi tìm tổng của chúng. Nếu muốn thử thêm một trường hợp khác, hãy dùng công bội âm và kiểm tra xem dấu thay đổi thế nào từ số hạng này sang số hạng tiếp theo.