等差数列与等差级数

等差数列是指每一步都按相同的数值变化的数列。这个固定的变化量叫作公差。等差级数则是把等差数列中的各项相加得到的和。

如果首项是 $a_1$，公差是 $d$，那么第 $n$ 项为

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

如果你要求前 $n$ 项的和，使用

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

这个求和公式适用于求等差数列前 $n$ 项的和。如果你还不知道末项，可以先用通项公式求出 $a_n$。

如何判断一个数列是不是等差数列

只有当相邻两项的差保持不变时，这个数列才是等差数列。

例如，$4, 7, 10, 13, 16$ 是等差数列，因为每一项都增加了 $3$。这说明公差是 $d = 3$。

相反，$5, 9, 14, 20$ 不是等差数列，因为它们的差分别是 $4$、$5$ 和 $6$。由于差在变化，等差数列的公式就不能使用。

等差数列与等差级数的区别

这个区别很重要，因为一种题目是求某一项，另一种题目是求总和。

等差数列是按顺序排列的一列数。等差级数则是把这列数的各项加起来得到的结果。

对于 $2, 5, 8, 11$，数列本身是 $2, 5, 8, 11$。对应的级数是

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

例题：求第 $20$ 项和前 $20$ 项的和

考虑下面这个等差数列

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

这里，$a_1 = 5$，$d = 3$。

求第 $20$ 项

使用

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

代入 $n = 20$：

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

所以第 $20$ 项是 $62$。

求前 $20$ 项的和

现在使用

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

其中 $n = 20$，$a_1 = 5$，$a_{20} = 62$：

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

所以前 $20$ 项的和是 $670$。

为什么等差级数求和公式成立

首项与末项的平均数，和第二项与倒数第二项的平均数相同，这样的规律会一直向中间延续。在等差数列中，这些成对的项相加总会得到相同的和。

这就是为什么总和可以写成

$$\text{项数} \times \text{首项与末项的平均数}$$

也就是

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

这个思路只适用于等差数列，因此“公差保持不变”这个条件非常重要。

等差数列与等差级数公式中的常见错误

混淆 $n$ 和 $d$

$n$ 表示项的位置或项数。$d$ 表示固定的公差。它们在公式中的作用不同。

忘记 $(n - 1 )$

通项公式是

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

而不是 $a_1 + nd$。因为从第一项到第 $n$ 项，一共只有 $n - 1$ 次变化。

对非等差数列使用求和公式

如果相邻两项的差不是常数，就不要使用等差级数求和公式。先检查数列规律。

忽略公差的符号

如果数列是递减的，那么 $d$ 就是负数。例如，在 $12, 9, 6, 3$ 中，公差是 $-3$，不是 $3$。

等差数列和等差级数的应用场景

只要某个量每一步都按固定数值变化，等差数列就会出现。常见例子包括每个月存入相同金额、每一排座位固定增加若干个，以及基于线性增长的代数问题。

当变化是“每次加上同样的量”而不是“每次乘上同样的倍数”时，它们就特别有用。如果每一步都是乘以相同的因数，而不是加上相同的数，那么你面对的就是等比数列。

试着做一道类似的题

利用数列 $18, 15, 12, 9, \ldots$ 求公差、第 $12$ 项，以及前 $12$ 项的和。

如果你想进一步练习，可以用同样的方法解决一个等比数列问题，并比较当规律从“固定加法”变成“固定乘法”时，解法有哪些变化。