Ciąg arytmetyczny i szereg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny zmienia się w każdym kroku o tę samą wartość. Ta stała zmiana to różnica ciągu. Szereg arytmetyczny to suma wyrazów ciągu arytmetycznego.

Jeśli pierwszy wyraz to $a_1$, a różnica ciągu to $d$, to $n$-ty wyraz ma postać

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Jeśli chcesz obliczyć sumę pierwszych $n$ wyrazów, użyj wzoru

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Ten wzór na sumę stosuje się wtedy, gdy dodajesz pierwsze $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego. Jeśli nie znasz jeszcze ostatniego wyrazu, możesz najpierw wyznaczyć $a_n$ ze wzoru na wyraz ogólny.

Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny

Ciąg jest arytmetyczny tylko wtedy, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Na przykład $4, 7, 10, 13, 16$ jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ każdy wyraz rośnie o $3$. To oznacza, że różnica ciągu wynosi $d = 3$.

Dla porównania, $5, 9, 14, 20$ nie jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ różnice wynoszą odpowiednio $4$, $5$ i $6$. Skoro różnica się zmienia, wzory dla ciągu arytmetycznego nie mają tu zastosowania.

Ciąg arytmetyczny a szereg arytmetyczny

To rozróżnienie jest ważne, ponieważ jedno pytanie dotyczy wyrazu, a drugie całkowitej sumy.

Ciąg arytmetyczny to sama uporządkowana lista liczb. Szereg arytmetyczny to wynik dodawania wyrazów z tej listy.

Dla $2, 5, 8, 11$ ciąg to $2, 5, 8, 11$. Odpowiadający mu szereg to

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Przykład: wyznacz $20$-ty wyraz i sumę pierwszych $20$ wyrazów

Rozważ ciąg arytmetyczny

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

Tutaj $a_1 = 5$ oraz $d = 3$.

Wyznacz $20$-ty wyraz

Użyj wzoru

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Podstaw $n = 20$:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

Zatem $20$-ty wyraz to $62$.

Wyznacz sumę pierwszych $20$ wyrazów

Teraz użyj wzoru

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

dla $n = 20$, $a_1 = 5$ oraz $a_{20} = 62$:

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

Zatem suma pierwszych $20$ wyrazów wynosi $670$.

Dlaczego wzór na szereg arytmetyczny działa

Pierwszy i ostatni wyraz mają tę samą średnią co drugi i przedostatni wyraz, i ten sam schemat powtarza się dalej do środka. W ciągu arytmetycznym takie pary zawsze dają tę samą sumę.

Dlatego sumę można zapisać jako

$$\text{liczba wyrazów} \times \text{średnia pierwszego i ostatniego wyrazu}$$

co daje

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Ten pomysł działa tylko wtedy, gdy wyrazy pochodzą z ciągu arytmetycznego, więc warunek stałej różnicy ma kluczowe znaczenie.

Typowe błędy we wzorach na ciąg i szereg arytmetyczny

Mylenie $n$ i $d$

$n$ oznacza numer wyrazu albo liczbę wyrazów. $d$ to stała różnica ciągu. We wzorach pełnią różne funkcje.

Pomijanie $(n - 1)$

Wzór na wyraz ogólny to

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

a nie $a_1 + nd$. Od pierwszego wyrazu do $n$-tego wyrazu wykonujesz tylko $n - 1$ kroków.

Stosowanie wzoru na sumę do ciągu, który nie jest arytmetyczny

Jeśli różnice nie są stałe, nie używaj wzoru na szereg arytmetyczny. Najpierw sprawdź schemat.

Gubienie znaku różnicy

Jeśli ciąg maleje, to $d$ jest ujemne. Na przykład w ciągu $12, 9, 6, 3$ różnica wynosi $-3$, a nie $3$.

Gdzie stosuje się ciągi i szeregi arytmetyczne

Ciągi arytmetyczne pojawiają się wszędzie tam, gdzie pewna wielkość zmienia się o stałą wartość w każdym kroku. Typowe przykłady to odkładanie tej samej kwoty co miesiąc, rzędy siedzeń zwiększające się o stałą liczbę miejsc oraz zadania algebraiczne oparte na wzroście liniowym.

Są przydatne wtedy, gdy zmiana ma charakter addytywny, a nie multiplikatywny. Jeśli w każdym kroku mnożysz przez ten sam czynnik zamiast dodawać tę samą wartość, masz do czynienia z ciągiem geometrycznym.

Spróbuj podobnego zadania

Użyj ciągu $18, 15, 12, 9, \ldots$ i wyznacz różnicę ciągu, $12$-ty wyraz oraz sumę pierwszych $12$ wyrazów.

Jeśli chcesz zrobić przydatny kolejny krok, rozwiąż podobne zadanie dla ciągu geometrycznego i porównaj, co się zmienia, gdy schemat opiera się na stałym mnożeniu zamiast stałego dodawania.