等差数列と等差級数

等差数列は、各項が毎回同じだけ変化する数列です。その一定の変化を公差といいます。等差級数は、等差数列の項を足し合わせた和です。

初項を $a_1$、公差を $d$ とすると、第 $n$ 項は

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

で表されます。

最初の $n$ 項の和を求めたいときは、

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

を使います。

この和の公式は、等差数列の最初の $n$ 項を足すときに使えます。まだ末項がわからない場合は、先に項の公式で $a_n$ を求めます。

等差数列の見分け方

数列が等差数列であるのは、隣り合う項の差が常に一定のときだけです。

たとえば、$4, 7, 10, 13, 16$ は各項が $3$ ずつ増えているので等差数列です。つまり、公差は $d = 3$ です。

一方で、$5, 9, 14, 20$ は等差数列ではありません。差が $4$、$5$、$6$ と変化しているからです。差が一定でないため、等差数列の公式は使えません。

等差数列と等差級数の違い

この違いは重要です。片方はある項を求める問題で、もう片方は合計を求める問題だからです。

等差数列は、並んだ数そのものです。等差級数は、その数列の項を足し合わせた結果です。

$2, 5, 8, 11$ では、数列は $2, 5, 8, 11$ です。対応する級数は

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

となります。

例題：第 $20$ 項と最初の $20$ 項の和を求める

次の等差数列を考えます。

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

ここで、$a_1 = 5$、$d = 3$ です。

第 $20$ 項を求める

次を使います。

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

$n = 20$ を代入すると、

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

したがって、第 $20$ 項は $62$ です。

最初の $20$ 項の和を求める

次に、

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

を使います。

ここで、$n = 20$、$a_1 = 5$、$a_{20} = 62$ です。

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

したがって、最初の $20$ 項の和は $670$ です。

等差級数の公式が成り立つ理由

最初の項と最後の項の平均は、2番目の項と後ろから2番目の項の平均と同じです。この並び方は内側に向かってずっと続きます。等差数列では、そのような組の和はいつも同じになります。

そのため、和は

$$\text{項数} \times \text{初項と末項の平均}$$

と書けます。

これを式にすると、

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

になります。

この考え方が使えるのは、項が等差数列になっている場合だけです。したがって、差が一定であることが重要です。

等差数列・等差級数の公式でよくあるミス

$n$ と $d$ を取り違える

$n$ は項の位置、または項数を表します。$d$ は一定の差である公差です。公式の中でそれぞれ役割が異なります。

$(n - 1)$ を忘れる

項の公式は

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

であり、$a_1 + nd$ ではありません。初項から第 $n$ 項までの増減は、$n - 1$ 回しかないからです。

等差でない数列に和の公式を使う

差が一定でないなら、等差級数の和の公式は使えません。まず並び方を確認しましょう。

公差の符号を落とす

数列が減少しているなら、$d$ は負の数です。たとえば、$12, 9, 6, 3$ の公差は $3$ ではなく $-3$ です。

等差数列と等差級数が使われる場面

等差数列は、ある量が各段階で一定量ずつ変化するときに現れます。たとえば、毎月同じ金額を貯金する場合、座席の列ごとに一定数ずつ増える場合、一次的な増加をもとにした代数の問題などがあります。

これは、変化が掛け算ではなく足し算で起こるときに役立ちます。各段階で同じ量を足すのではなく、同じ倍率を掛けているなら、それは等比数列です。

類題に挑戦してみよう

数列 $18, 15, 12, 9, \ldots$ を使って、公差、第 $12$ 項、最初の $12$ 項の和を求めてみましょう。

次の学習としておすすめなのは、同じ種類の問題を等比数列でも解いてみることです。一定の足し算ではなく、一定の掛け算になると何が変わるかを比べてみましょう。