등차수열과 등차급수

등차수열은 각 단계마다 같은 양만큼 변하는 수열입니다. 이 일정한 변화를 공차라고 합니다. 등차급수는 등차수열의 항들을 더한 합입니다.

첫째항이 $a_1$이고 공차가 $d$이면, 제 $n$항은 다음과 같습니다.

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

첫 $n$개의 항의 합을 구하려면 다음 공식을 사용합니다.

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

이 합 공식은 등차수열의 첫 $n$개 항을 더할 때 적용됩니다. 마지막 항을 아직 모른다면, 먼저 일반항 공식을 이용해 $a_n$을 구할 수 있습니다.

등차수열을 알아보는 방법

수열이 등차수열이 되려면 연속하는 두 항의 차가 항상 일정해야 합니다.

예를 들어 $4, 7, 10, 13, 16$은 각 항이 $3$씩 증가하므로 등차수열입니다. 따라서 공차는 $d = 3$입니다.

반면 $5, 9, 14, 20$은 차가 각각 $4$, $5$, $6$이므로 등차수열이 아닙니다. 차가 일정하지 않기 때문에 등차수열 공식은 적용할 수 없습니다.

등차수열과 등차급수의 차이

이 차이는 중요합니다. 하나는 특정 항을 묻는 문제이고, 다른 하나는 전체 합을 묻는 문제이기 때문입니다.

등차수열은 순서대로 나열된 항들의 목록 자체입니다. 등차급수는 그 목록의 항들을 모두 더한 결과입니다.

$2, 5, 8, 11$에서 수열은 $2, 5, 8, 11$입니다. 이에 대응하는 급수는 다음과 같습니다.

$$2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

풀이 예제: 제 $20$항과 첫 $20$항의 합 구하기

다음 등차수열을 생각해 봅시다.

$$5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$

여기서 $a_1 = 5$, $d = 3$입니다.

제 $20$항 구하기

다음을 사용합니다.

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

$n = 20$을 대입하면:

$$a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)$$ $$a_{20} = 5 + 57 = 62$$

따라서 제 $20$항은 $62$입니다.

첫 $20$항의 합 구하기

이제 다음 공식을 사용합니다.

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

여기서 $n = 20$, $a_1 = 5$, $a_{20} = 62$입니다.

$$S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)$$ $$S_{20} = 10 \cdot 67 = 670$$

따라서 첫 $20$항의 합은 $670$입니다.

등차급수 공식이 성립하는 이유

첫째항과 마지막 항의 평균은 둘째항과 끝에서 둘째 항의 평균과 같습니다. 이런 패턴은 안쪽으로 계속 이어집니다. 등차수열에서는 이런 쌍들의 합이 항상 같습니다.

그래서 합은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\text{항의 개수} \times \text{첫째항과 마지막 항의 평균}$$

이 식은 다음 공식이 됩니다.

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

이 아이디어는 항들이 등차수열에서 나왔을 때만 성립합니다. 그래서 공차가 일정하다는 조건이 중요합니다.

등차수열과 등차급수 공식에서 자주 하는 실수

$n$과 $d$를 혼동하기

$n$은 몇 번째 항인지, 또는 항의 개수를 나타냅니다. $d$는 일정한 차이인 공차입니다. 두 값은 공식에서 역할이 다릅니다.

$(n - 1)$을 빼먹기

일반항 공식은 다음과 같습니다.

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

$a_1 + nd$가 아닙니다. 첫째항에서 제 $n$항까지 이동하는 횟수는 $n - 1$번뿐입니다.

등차가 아닌 수열에 합 공식을 사용하기

차가 일정하지 않다면 등차급수 공식을 사용하면 안 됩니다. 먼저 규칙을 확인하세요.

공차의 부호를 놓치기

수열이 감소하면 $d$는 음수입니다. 예를 들어 $12, 9, 6, 3$의 공차는 $3$이 아니라 $-3$입니다.

등차수열과 등차급수가 사용되는 경우

등차수열은 어떤 양이 단계마다 일정한 양만큼 변할 때 나타납니다. 대표적인 예로는 매달 같은 금액을 저축하는 경우, 줄마다 좌석 수가 일정하게 늘어나는 경우, 그리고 선형 증가를 바탕으로 한 대수 문제가 있습니다.

이 개념은 변화가 곱셈이 아니라 덧셈일 때 유용합니다. 각 단계가 같은 양을 더하는 대신 같은 비율로 곱해진다면, 그것은 등비수열입니다.

비슷한 문제를 풀어보세요

수열 $18, 15, 12, 9, \ldots$에서 공차, 제 $12$항, 그리고 첫 $12$항의 합을 구해 보세요.

이어지는 연습으로는 같은 유형의 문제를 등비수열에 대해 풀어 보고, 일정한 덧셈이 아니라 일정한 곱셈일 때 무엇이 달라지는지 비교해 보세요.