ลำดับเลขคณิตและอนุกรมเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตเป็นลำดับที่เปลี่ยนแปลงด้วยจำนวนเท่ากันในแต่ละขั้น ค่าที่เปลี่ยนคงที่นี้เรียกว่า ผลต่างร่วม อนุกรมเลขคณิตคือผลบวกของพจน์ต่าง ๆ จากลำดับเลขคณิตนั้น

ถ้าพจน์แรกคือ $a_1$ และผลต่างร่วมคือ $d$ พจน์ที่ $n$ คือ

a_n = a_1 + (n - 1)d

ถ้าต้องการหาผลบวกของ $n$ พจน์แรก ให้ใช้

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

สูตรผลบวกนี้ใช้ได้เมื่อคุณกำลังบวก $n$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต ถ้ายังไม่ทราบพจน์สุดท้าย คุณสามารถหา $a_n$ ก่อนด้วยสูตรหาพจน์

วิธีสังเกตลำดับเลขคณิต

ลำดับจะเป็นลำดับเลขคณิตก็ต่อเมื่อผลต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่

ตัวอย่างเช่น $4, 7, 10, 13, 16$ เป็นลำดับเลขคณิต เพราะแต่ละพจน์เพิ่มขึ้นทีละ $3$ นั่นหมายความว่าผลต่างร่วมคือ $d = 3$

ในทางตรงกันข้าม $5, 9, 14, 20$ ไม่ใช่ลำดับเลขคณิต เพราะผลต่างคือ $4$ , $5$ และ $6$ เมื่อผลต่างเปลี่ยนไป สูตรของลำดับเลขคณิตจึงใช้ไม่ได้

ลำดับเลขคณิต เทียบกับ อนุกรมเลขคณิต

ความแตกต่างนี้สำคัญ เพราะโจทย์แบบหนึ่งถามหาพจน์ ส่วนอีกแบบถามหาผลรวม

ลำดับเลขคณิตคือลิสต์ของพจน์ที่เรียงตามลำดับ ส่วนอนุกรมเลขคณิตคือผลลัพธ์ที่ได้จากการนำพจน์ในลิสต์นั้นมาบวกกัน

สำหรับ $2, 5, 8, 11$ ลำดับคือ $2, 5, 8, 11$ และอนุกรมที่สอดคล้องกันคือ

2 + 5 + 8 + 11 = 26

ตัวอย่างทำโจทย์: หาเทอมที่ $20$ และผลบวก $20$ พจน์แรก

พิจารณาลำดับเลขคณิต

5, 8, 11, 14, 17, \ldots

ในที่นี้ $a_1 = 5$ และ $d = 3$

หาเทอมที่ $20$

ใช้

a_n = a_1 + (n - 1)d

แทนค่า $n = 20$ :

a_{20} = 5 + (20 - 1)(3)

a_{20} = 5 + 57 = 62

ดังนั้นเทอมที่ $20$ คือ $62$

หาผลบวกของ $20$ พจน์แรก

ตอนนี้ใช้

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

โดยที่ $n = 20$ , $a_1 = 5$ และ $a_{20} = 62$ :

S_{20} = \frac{20}{2}(5 + 62)

S_{20} = 10 \cdot 67 = 670

ดังนั้นผลบวกของ $20$ พจน์แรกคือ $670$

ทำไมสูตรอนุกรมเลขคณิตจึงใช้ได้

พจน์แรกกับพจน์สุดท้ายมีค่าเฉลี่ยเท่ากับพจน์ที่สองกับพจน์รองสุดท้าย และรูปแบบนี้จะดำเนินต่อไปเข้าด้านใน ในลำดับเลขคณิต คู่พจน์เหล่านี้จะบวกกันได้ผลรวมเท่ากันเสมอ

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่สามารถเขียนผลบวกได้เป็น

\text{จำนวนพจน์} \times \text{ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย}

ซึ่งกลายเป็น

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

แนวคิดนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อพจน์มาจากลำดับเลขคณิตเท่านั้น ดังนั้นเงื่อนไขที่ผลต่างต้องคงที่จึงสำคัญมาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรลำดับเลขคณิตและอนุกรมเลขคณิต

สับสนระหว่าง $n$ กับ $d$

$n$ ใช้นับตำแหน่งหรือจำนวนพจน์ ส่วน $d$ คือผลต่างคงที่ ทั้งสองตัวมีหน้าที่ต่างกันในสูตร

ลืม $(n - 1)$

สูตรหาพจน์คือ

a_n = a_1 + (n - 1)d

ไม่ใช่ $a_1 + nd$ เพราะจากพจน์แรกไปถึงพจน์ที่ $n$ จะมีการกระโดดเพียง $n - 1$ ครั้ง

ใช้สูตรผลบวกกับลิสต์ที่ไม่ใช่ลำดับเลขคณิต

ถ้าผลต่างไม่คงที่ อย่าใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต ตรวจสอบรูปแบบก่อนเสมอ

ลืมเครื่องหมายของผลต่าง

ถ้าลำดับลดลง ค่า $d$ จะเป็นลบ ตัวอย่างเช่น ใน $12, 9, 6, 3$ ผลต่างร่วมคือ $-3$ ไม่ใช่ $3$