Eğim Nasıl Bulunur

Eğimi bulmak için $y$’deki değişimi $x$’teki değişime bölün. İki nokta biliyorsanız eğim formülünü kullanın:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

burada $x_2 \ne x_1$ olmalıdır. Bu, yükselme/bir yatay birim ilerleme fikriyle aynıdır: Doğrunun sağa ne kadar gittiğine göre ne kadar yukarı ya da aşağı gittiğini gösterir.

Eğim, bir doğrunun ne kadar hızlı değiştiğini gösterir. Pozitif eğim, doğrunun soldan sağa yükseldiği anlamına gelir; negatif eğim, aşağı indiği anlamına gelir; $0$ eğim ise doğrunun yatay olduğu anlamına gelir.

Eğer $x_2 - x_1 = 0$ ise doğru diktir. Bu durumda eğim tanımsızdır çünkü formül $0$’a bölme gerektirir.

Eğimin Anlamı

Eğim bir değişim oranıdır. $y$’nin ne kadar değiştiğini, $x$’in ne kadar değiştiğiyle karşılaştırır.

Bu yüzden eğim cebirde, grafiklerde ve veri tablolarında karşınıza çıkar. Aynı fikir, bir ilişkinin sabit bir hızla değiştiği her yerde geçerlidir.

İki Noktadan Eğim Nasıl Bulunur

Payda ve payda aynı çıkarma sırasını kullanın:

1. İki noktayı seçin.
2. $y$’deki değişimi bulmak için $y$ değerlerini çıkarın.
3. $x$’teki değişimi bulmak için $x$ değerlerini aynı sırayla çıkarın.
4. Bölün.
5. Mümkünse sadeleştirin.

Her iki çıkarma sırasını da ters çevirirseniz eğim aynı kalır. Yalnızca birini ters çevirirseniz işaret yanlış olur.

Çözümlü Örnek: İki Nokta Arasındaki Eğimi Bulma

$(2, 3)$ ve $(5, 9)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun.

Formülle başlayın:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Koordinatları aynı sırayla yerine yazın:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Eğim $2$’dir. Bu, $x$ her $1$ arttığında $y$’nin $2$ arttığı anlamına gelir.

Bunu yükselme/bir yatay birim ilerleme olarak da okuyabilirsiniz. $(2, 3)$ noktasından $(5, 9)$ noktasına giderken doğru $6$ birim yukarı ve $3$ birim sağa gider, bu yüzden eğim $6/3 = 2$ olur.

Grafikten Eğim Nasıl Bulunur

Doğru üzerinde ızgaranın kesişiminde bulunan iki net nokta seçin. Önce dikey değişimi, sonra yatay değişimi sayın.

Eğer $4$ birim yukarı ve $2$ birim sağa gidiyorsanız eğim

$$\frac{4}{2} = 2$$

olur.

Eğer $3$ birim aşağı ve $1$ birim sağa gidiyorsanız eğim

$$\frac{-3}{1} = -3$$

olur.

Izgara kesişim noktalarını kullanmak, sayma hatalarını önlemeye yardımcı olur.

Tablodan Eğim Nasıl Bulunur

Bir tablo yalnızca değişim oranı sabitse eğim verir. İki satır seçin ve şunu hesaplayın:

$$\frac{\text{change in } y}{\text{change in } x}$$

Farklı satır çiftlerinden aynı değeri elde ediyorsanız ilişki doğrusaldır ve bu sabit değer eğimdir.

Örneğin, $x$ değeri $1$’den $3$’e çıkarken $y$ değeri $4$’ten $10$’a çıkıyorsa

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Eğim Bulurken Yapılan Yaygın Hatalar

Yaygın hatalardan biri, farklı sıralarda çıkarma yapmaktır. Eğer $y_2 - y_1$ kullanıyorsanız, $x_2 - x_1$ de kullanmalısınız.

Bir başka hata, dikey bir doğrunun eğimine $0$ demektir. İki noktanın $x$ değeri aynıysa payda $0$ olur, bu yüzden eğim tanımsızdır.

Üçüncü bir hata, her tablonun bir eğimi olduğunu varsaymaktır. Bir tablonun tek bir eğimi olması için değişim oranının sabit kalması gerekir.

Eğimin Kullanıldığı Yerler

Eğim, bir niceliğin başka bir niceliğe göre nasıl değiştiğini açıklamak istediğiniz her yerde kullanılır. Doğruların grafiğini çizerken, doğrusal denklemler yazarken, sabit oranlı fizik formüllerinde ve doğrusal bir örüntü izleyen veri tablolarında karşınıza çıkar.

Kendi Sorunuzu Deneyin

$(1, -2)$ ve $(4, 7)$ noktaları arasındaki eğimi bulun. Sadeleştirmeden önce çıkarma adımını yazın, sonra $x$ arttıkça doğrunun yükselip yükselmediğine ya da alçalıp alçalmadığına karar verin.

Bir örnek daha isterseniz, iki yeni noktayla kendi sorunuz oluşturun ve bölmeden önce paydanın sıfır olmadığını kontrol edin.