Eş Üçgenler — SSS, SAS, ASA, AAS ve HL

Eş üçgenler, aynı boyuta ve aynı şekle sahip üçgenlerdir. Geometri sorularının çoğunda eşliği beş koşuldan biriyle ispat edersiniz: SSS, SAS, ASA, AAS veya HL. Ayrıca hangi yaygın kısa yolların geçersiz olduğunu da bilmeniz gerekir; özellikle AAA ve SSA.

Bir üçgen ötelenerek, döndürülerek veya yansıtılarak diğerinin tam üzerine getirilebiliyorsa, bu üçgenler eştir. Köşelerin sırası önemlidir çünkü hangi parçaların birbirine karşılık geldiğini o gösterir.

Eş üçgen ne demektir?

Eğer $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ise, karşılık gelen parçalar eşittir:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Bu şu anlama gelir:

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

ve

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ifadesi, $A$ ile $D$'yi, $B$ ile $E$'yi ve $C$ ile $F$'yi eşleştirir. Harfleri yanlış sırayla yazarsanız, yanlış kenarları ve açıları eşleştirebilirsiniz.

İşe yarayan üçgen eşlik koşulları

SSS: Kenar-Kenar-Kenar

Üç kenarın uzunluğu da eşitse, üçgenler eştir.

Üç kenar uzunluğu, yansıma dışında tek bir üçgen belirler.

SAS: Kenar-Açı-Kenar

İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı eşitse, üçgenler eştir.

Buradaki koşul aradaki açıdır. Bilinen iki kenarın oluşturduğu açı olmalıdır.

ASA: Açı-Kenar-Açı

İki açı ve bu açıların arasındaki kenar eşitse, üçgenler eştir.

İki açı sabitlendiğinde üçüncü açı da sabitlenmiş olur. Kenar ise üçgenin boyutunu belirler.

AAS: Açı-Açı-Kenar

İki açı ve arada olmayan bir kenar eşitse, üçgenler eştir.

Bu da ASA ile aynı nedenle çalışır: iki açı şekli belirler, bir kenar da boyutu belirler.

HL: Hipotenüs-Dik Kenar

HL yalnızca dik üçgenler için geçerlidir. İki dik üçgenin hipotenüsleri ve birer karşılık gelen dik kenarı eşitse, üçgenler eştir.

Dik açı koşulu olmadan HL uygulanamaz.

Çözümlü bir SAS örneği

Diyelim ki şunları biliyorsunuz:

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

ve her üçgende de bilinen açı, bilinen iki kenarın arasındadır.

Bu, SAS için yeterlidir:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

O hâlde üçgenler eştir:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Bundan sonra karşılık gelen her parça eş olur. Örneğin, $BC = EF$ ve $\angle B = \angle E$.

Buradaki temel gözlem sayısal değil, konumsaldır. Eş açının yeri, eş kenarların arasındadır; bu yüzden bu durum SAS'tır, SSA değil.

AAA ve SSA neden yeterli değildir?

AAA

AAA eşliği ispatlamaz. Yalnızca üçgenlerin benzer olduğunu ispatlar.

Örneğin, iki eşkenar üçgenin açıları da $60^\circ$, $60^\circ$ ve $60^\circ$ olabilir; ama kenar uzunlukları farklı olabilir.

SSA

SSA genel olarak geçerli bir eşlik koşulu değildir. İki kenar ve arada olmayan bir açıyı bilmek, birden fazla üçgen oluşturabilir; hatta bazen hiç üçgen oluşmayabilir.

Bu yüzden SSA'ya belirsiz durum denir. Yaygın özel istisna HL'dir; o da yalnızca üçgenler dik üçgen olduğu için çalışır.

Üçgen eşliğinde yaygın hatalar

1. Bilinen açı, bilinen iki kenarın arasında olmadığı hâlde SAS kullanmak.
2. Dik üçgen olduğu belirtilmeyen veya gösterilmeyen üçgenlerde HL kullanmak.
3. AAA'nın benzerlik yerine eşlik ispatladığını sanmak.
4. Eşlik ifadesini yazarken köşeleri yanlış eşleştirmek.

Eş üçgenler nerelerde kullanılır?

Eş üçgenler; geometri ispatlarında, inşa problemlerinde, analitik geometride ve eş parçaların tam uyması gereken tasarım çalışmalarında karşınıza çıkar.

Özellikle bir soru yalnızca birkaç uzunluk veya açı verip daha fazlasını soruyorsa çok kullanışlıdır. Eşliği ispatladıktan sonra, kalan karşılık gelen parçaları da güvenle kullanabilirsiniz.

Benzer bir durumu deneyin

Hipotenüsü $10$ ve bir dik kenarı $6$ olan iki dik üçgen alın. HL, yalnızca her iki üçgen de dik üçgense bunların eş olduğunu gösterir. Bu koşulu kaldırırsanız gerekçe çöker; bu da HL'nin neden özel bir durum olduğunu hatırlamanın iyi bir yoludur.