Kalkülüste Bağlı Değişim Hızları

Kalkülüste bağlı değişim hızları, bir niceliğin ne kadar hızlı değiştiğini, hızı zaten bilinen başka bir nicelikle olan ilişkisini kullanarak bulmak demektir. Temel fikir basittir: değişkenleri bağlayan denklemi yaz, zamana göre türev al, sonra sorudaki belirli anda değerlendir.

Eğer $y$, $x$'e bağlıysa ve $x$ de $t$'ye bağlıysa, bu fonksiyonların türevlenebilir olduğunu varsayarsak,

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Bu zincir kuralı, bağlı değişim hızlarının temel motorudur. Fark şu ki problem genellikle hazır bir fonksiyonla değil, geometrik ya da fiziksel bir durumla başlar.

Bağlı değişim hızları ne demektir?

Hızlar birbirine bağlıdır çünkü değişkenler birbirine bağlıdır. Bir çemberin yarıçapı değişirse alanı da değişir. Bir küpün ayrıt uzunluğu değişirse hacmi de değişir. Nicelikleri birbirine bağlayan denklem, bir hızın aynı andaki diğer hızı nasıl etkilediğini gösterir.

Temel kalıp şudur:

1. Değişkenleri tanımla.
2. Onları bağlayan denklemi yaz.
3. Zamana göre $t$ türev al.
4. İlgilendiğin ana ait değerleri yerine koy.
5. Bilinmeyen hızı bul.

Sayıları yerine koymadan önce neden türev alınır?

Bağlı değişim hızları sorularında, denklemde $t$ açıkça görünmese bile değişkenler zamanın değişen fonksiyonlarıdır. Bu yüzden

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

yalnızca $2r$ değildir.

Bir sayıyı çok erken yerine koyarsan, türevi ortaya çıkmadan önce değişen bir değişkeni denklemden silebilirsin. Basit durumlarda şans eseri doğru sonuca ulaşabilirsin, ama bu yöntem güvenilir değildir.

Çözümlü örnek: büyüyen bir çemberin alanı

Bir çemberin yarıçapının şu hızla arttığını düşünelim:

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

$r = 5$ cm iken alan ne kadar hızlı artmaktadır?

Alan formülüyle başlayalım:

$$A = \pi r^2$$

Her iki tarafın zamana göre türevini alalım:

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

Şimdi verilen anı yerine koyalım: $r = 5$ ve $\frac{dr}{dt} = 3$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

Buna göre alanın artış hızı

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

Birimler önemlidir. Yarıçap santimetre cinsinden ölçülür, bu yüzden alan saniye başına santimetrekare cinsinden değişir.

Örnek neden işe yarıyor?

Başlangıçtaki formül $A$ ile $r$'yi bağlıyordu, $A$ ile $t$'yi değil. Zaman ancak türev aldığımızda denkleme girdi. Bağlı değişim hızlarının özü budur: başlangıçtaki denklem yalnızca geometrik görünse bile her değişen niceliği zamanın bir fonksiyonu gibi ele al.

Bu aynı zamanda bağlı değişim hızlarında neden sıkça örtük türev kullanıldığını da açıklar. Birbirine bağlı birkaç değişken içeren bir denklemin türevini alırsın ve değişen her değişken kendi hız terimini üretebilir.

Bağlı değişim hızlarında yaygın hatalar

1. Türev almadan önce değerleri yerine koymak.
2. $r$ ya da $y$ gibi bir değişkenin zamana bağlı olduğunu unutmak.
3. Yanlış anı kullanmak. Soru genel bir ortalama değişimi değil, belirli bir anı sorar.
4. Birimleri ya da işaretleri göz ardı etmek. Azalan bir nicelik genellikle negatif bir hız üretmelidir.
5. Geometriye ya da fiziksel duruma uymayan bir formül yazmak.

Bağlı değişim hızları problemleri ne zaman kullanılır?

Bağlı değişim hızları, iki değişen nicelik bir kuralla birbirine bağlı kaldığında ortaya çıkar.

Yaygın durumlar şunlardır:

1. Çemberler, küreler, koniler ve merdivenler gibi geometri problemleri.
2. Konum, hız ve diğer niceliklerin birlikte değiştiği fizik problemleri.
3. Zamanla değişen başka bir niceliğe bağlı ölçümlerin olduğu mühendislik ya da kimya problemleri.

Yöntem yalnızca yazdığın bağıntı durum için geçerliyse işe yarar. Model değişirse hız denklemi de değişebilir.

Kısa bir bağlı değişim hızları kontrol listesi

Şu üç soruyu sor:

1. Türev almadan önce bağıntıyı yazdım mı?
2. $t$'ye göre türev alırken değişen her değişken bir hız terimi üretti mi?
3. Son birimler anlamlı mı?

Bu kısa kontrol, bağlı değişim hızları hatalarının büyük bir kısmını yakalar.

Kendi versiyonunu dene

Aynı çember örneğini al, ama hızı $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s olarak değiştir ve $r = 8$ cm iken hesapla. Sonra kürenin hacmiyle ilgili bir versiyon dene ve $r^2$ yerine $r^3$ kullanılmasının son hız formülünü nasıl değiştirdiğine dikkat et. Bir sonraki adım olarak, bağıntıyı yazıp türevi kendin aldıktan sonra kendi versiyonunu bir çözücüde denemeyi düşünebilirsin.