Türev Alma — Kurallar ve Örnekler

Türev alma, bir fonksiyonun türevini bulmak demektir. Türev, bir fonksiyonun bir noktada ne kadar hızlı değiştiğini gösterir; bu yüzden analizde eğim ve değişim hızı sorularında kullanılır.

Doğru kuralı seçmenin en hızlı yolu önce yapıya bakmaktır. İfade $x^5$ gibi bir kuvvet mi, $x^3 + 2x$ gibi bir toplam mı, $x^2 e^x$ gibi bir çarpım mı, yoksa $(3x+1)^4$ gibi bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun içinde olduğu bir yapı mı? Kullanılacak türev kuralı bu yapıya bağlıdır.

Hangi Türev Alma Kuralını Kullanmalısınız?

İfadenin en dıştaki biçimiyle başlayın.

• İfade $x$'in tek bir kuvvetiyse, kuvvet kuralını kullanın.
• Terimler toplanıyor veya çıkarılıyorsa, her terimin türevini ayrı ayrı alın.
• Değişen iki ifade çarpılıyorsa, çarpım kuralını kullanın.
• Değişen bir ifade başka bir değişen ifadeye bölünüyorsa, bölüm kuralını kullanın.
• Bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içindeyse, zincir kuralını kullanın.

Birçok alıştırmada birden fazla kural kullanılır. Bu durumda önce dış yapıya uyan kuralı seçin.

Temel Türev Alma Kuralları

Sabit Kuralı

Eğer $c$ bir sabitse, o zaman:

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Sabit bir sayı, $x$ değiştiğinde değişmez.

Kuvvet Kuralı

Eğer $n$ bir reel sayıysa, o zaman:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Örnek: $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.

Sabit Katsayı Kuralı

Eğer $c$ sabit ve $f$ türevlenebilirse, o zaman:

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

Sabit katsayı önde kalır.

Toplam ve Fark Kuralı

Eğer $f$ ve $g$ türevlenebilirse, o zaman:

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

Her terimin türevini ayrı alın, sonra aynı artı veya eksi işaretini koruyun.

Çarpım Kuralı

Eğer $f$ ve $g$ türevlenebilirse, o zaman:

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Her iki çarpan da $x$'e bağlıysa bu kuralı kullanın.

Bölüm Kuralı

Eğer $f$ ve $g$ türevlenebilir ve $g(x) \ne 0$ ise, o zaman:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

$g(x) \ne 0$ koşulu önemlidir çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.

Zincir Kuralı

Eğer $y = f(g(x))$ ise ve her iki fonksiyon da gereken yerlerde türevlenebilirse, o zaman:

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içine yerleşmişse bu kuralı kullanın.

Türev Almada Yapı Neden Önemlidir?

Türev kuralları, yaygın ifade biçimleri için kısa yollardır. İfade basitse çoğu zaman tek bir kural yeterlidir. Parçalardan oluşuyorsa kuralları birlikte kullanırsınız.

Bu yüzden öğrenciler çoğu zaman türev almaya başlamadan önce hata yapar. Asıl beceri önce cebir yapmak değildir. Asıl beceri, herhangi bir hesap yapmadan önce dış yapıyı tanımaktır.

Türev Alma Örneği: Çarpım Kuralı ve Zincir Kuralı Birlikte

Aşağıdaki ifadenin türevini bulun:

$$y = x^2(3x+1)^4$$

En dış yapı bir çarpımdır, bu yüzden çarpım kuralıyla başlayın. Tanımlayalım:

$$f(x) = x^2 \quad \text{ve} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

O zaman:

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

İlk çarpanın türevini alın:

$$f'(x) = 2x$$

Şimdi $g(x) = (3x+1)^4$ ifadesinin türevini alın. Burada zincir kuralı gerekir çünkü içteki ifade yalnızca $x$ değil, $3x+1$'dir:

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Her iki parçayı yerine yazın:

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

Bu haliyle türev zaten doğrudur. Çarpanlara ayrılmış biçimini isterseniz:

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

Buradaki önemli adım çarpanlara ayırma değildir. Önemli olan, tüm ifadenin bir çarpım olduğunu; buna ek olarak çarpanlardan birinin de zincir kuralı gerektirdiğini fark etmektir.

Türev Almada Yaygın Hatalar

1. Fonksiyon aslında bir çarpım veya bölüm olduğu hâlde tüm ifadeye kuvvet kuralını uygulamak.
2. Zincir kuralında iç türevi unutmak. $(3x+1)^4$ için tam türev $4(3x+1)^3 \cdot 3$ olur.
3. Bir çarpımın türevini, türevleri çarparak almak. Genel olarak $[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$.
4. Koşulları gözden kaçırmak. Bölüm kuralında paydanın sıfır olmaması gerekir.

Türev Alma Kuralları Ne Zaman Kullanılır?

Türev kuralları, bir niceliğin başka bir niceliğe göre değiştiği her yerde karşınıza çıkar. Analizde teğet eğimi, optimizasyon ve eğri çizimi için kullanılırlar.

Fizikte türevler hız ve ivme gibi nicelikleri açıklar. Ekonomi veya mühendislikte ise marjinal değişim ya da değişim hızı gerektiğinde kullanılır.

Benzer Bir Türev Problemi Deneyin

$y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ ifadesinin türevini alın ve önce hangi kuralın uygulanacağını belirleyin. Cevabınızda çarpım kuralının iki terimi eksikse ya da $(2x - 5)^2$ ifadesinden gelen iç türev yoksa, sadeleştirmeden önce dış yapıyı yeniden kontrol edin.