원뿔의 부피 공식은 무엇인가요?

밑면의 반지름이 $r$이고 수직 높이가 $h$인 원뿔의 부피는 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$입니다.

원뿔 공식에 왜 3분의 1이 들어가나요?

밑면의 넓이와 높이가 같은 원뿔은 원기둥 부피의 3분의 1입니다. 이 결과는 단면이나 적분을 이용해 설명할 수 있습니다.

아니요. 부피에는 모선 길이가 아니라 수직 높이 $h$를 사용합니다. 모선 길이는 보통 겉넓이를 구할 때 사용합니다.

원뿔의 부피는 그 안에 들어 있는 공간의 양입니다. 밑면의 반지름이 $r$ 이고 수직 높이가 $h$ 인 원뿔의 부피는 다음 공식을 사용합니다.

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

밑면의 넓이는 $\pi r^2$ 이므로, 이 공식은 사실 다음 뜻입니다.

\text{원뿔의 부피} = \frac{1}{3}(\text{밑면의 넓이})(\text{높이})

밑면이 원이면 이것이 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 가 됩니다.

$\pi r^2$ 는 원형 밑면의 넓이입니다. 여기에 $h$ 를 곱하면 같은 밑면과 높이를 가진 원기둥의 부피가 됩니다.

원뿔은 더 뾰족하게 좁아지는 모양이므로, 같은 원기둥보다 담을 수 있는 양이 더 적습니다. 실제로 밑면의 넓이와 높이가 같다면 정확히 원기둥의 3분의 1만큼입니다.

그래서 이 공식은 가장 빠르게 다음처럼 이해할 수 있습니다.

V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

대표적인 유도 방법 중 하나는 단면을 이용하는 것입니다. 원뿔의 꼭짓점에서 위로 높이 $x$ 만큼 올라간 지점을 생각해 봅시다. 그 높이에서의 반지름은 선형적으로 변하므로,

\text{높이 } x\text{에서의 반지름} = \frac{r}{h}x

그 지점의 단면 넓이는

A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2

이제 $x = 0$ 부터 $x = h$ 까지 이런 얇은 원형 단면들을 모두 더하면,

V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx

V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h

아직 미적분을 배우지 않았다면, 실용적으로 기억할 핵심은 간단합니다. 밑면과 높이가 같은 원뿔은 원기둥 부피의 3분의 1입니다.

반지름이 $3$ cm이고 높이가 $8$ cm인 원뿔이 있다고 합시다.

먼저 공식을 씁니다.

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

$r = 3$ , $h = 8$ 을 대입하면,

V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)

반지름을 제곱하고 정리하면,

V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi

따라서 정확한 부피는

24\pi\ \text{cm}^3

소수 근삿값이 필요하다면,

24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3

이 공식은 기하학, 공학적 추정, 포장 계산, 그리고 어떤 물체를 원뿔 또는 원뿔에 가까운 형태로 볼 수 있는 문제에서 사용됩니다. 대표적인 예로 깔때기, 재료 더미, 원뿔형 탱크가 있습니다.

물체가 완전한 원뿔이 아니라 대략 원뿔 모양이라면 결과도 근사값입니다. 실제 모양이 원뿔에 가까울수록 이 추정은 더 유용해집니다.

원뿔과 원기둥의 밑면 반지름과 높이가 같다면, 원뿔의 부피는 원기둥보다 $3$ 배 작아야 합니다.

따라서 계산한 원뿔의 답이 $\pi r^2 h$ 와 같게 나왔다면, $\frac{1}{3}$ 을 빠뜨렸을 가능성이 큽니다.

반지름이 $5$ 이고 높이가 $12$ 인 경우도 직접 풀어 보세요. 계산하기 전에, 정확한 답이 같은 치수의 원기둥 부피보다 큰지 작은지 먼저 예상해 보세요. 몇 가지 경우를 빠르게 비교하고 싶다면 GPAI Solver로 비슷한 문제를 풀어 보세요.

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