ปริมาตรพีระมิด — สูตรและตัวอย่าง

การหาปริมาตรพีระมิด ใช้สูตร $V = \frac{1}{3}Bh$ โดยที่ $B$ คือพื้นที่ฐาน และ $h$ คือความสูงตั้งฉาก สูตรนี้ใช้ได้กับพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานสามเหลี่ยม เพราะสูตรขึ้นอยู่กับพื้นที่ฐาน ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของฐาน

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

ถ้าคุณทราบพื้นที่ฐานอยู่แล้ว โจทย์มักจะทำได้ค่อนข้างเร็ว: นำไปคูณกับความสูงตั้งฉาก แล้วหารด้วย $3$

สูตรปริมาตรพีระมิดหมายความว่าอย่างไร

ตัวแปร $B$ หมายถึงพื้นที่ทั้งหมดของฐาน ไม่ใช่แค่ความยาวด้านใดด้านหนึ่งเท่านั้น เรื่องนี้สำคัญ เพราะพีระมิดอาจมีฐานได้หลายรูปแบบ เช่น ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือฐานสามเหลี่ยม

ตัวแปร $h$ คือความสูงตรงจากฐานถึงยอดพีระมิด และต้องตั้งฉากกับฐาน ถ้าโจทย์ให้ความสูงเอียงมา ค่านั้นยังใช้ไม่ได้โดยตรง เว้นแต่คุณจะแปลงให้เป็นความสูงตั้งฉากก่อน

ตัวประกอบ $\frac{1}{3}$ บอกว่าพีระมิดมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งในสามของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานเท่ากันและมีความสูงตั้งฉากเท่ากัน

ทำไมจึงมีหนึ่งส่วนสาม

ปริซึมที่มีพื้นที่ฐาน $B$ และความสูง $h$ เท่ากัน จะมีปริมาตรเป็น

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

พีระมิดค่อย ๆ เรียวไปจนถึงจุดยอด จึงมีปริมาตรน้อยกว่าปริซึมนั้น สำหรับพื้นที่ฐานและความสูงตั้งฉากที่เท่ากัน พีระมิดจะมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งในสามพอดี:

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

การเปรียบเทียบแบบนี้มักเป็นวิธีที่จำสูตรได้ง่ายที่สุด

ตัวอย่างโจทย์: ปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สมมติว่าพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวด้านฐาน $6$ ซม. และมีความสูงตั้งฉาก $10$ ซม.

เริ่มจากหาพื้นที่ฐาน:

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

จากนั้นแทนค่าในสูตร:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

ตอนนี้จัดรูปให้ง่ายขึ้น:

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

ดังนั้นปริมาตรคือ $120 \text{ cm}^3$

หน่วยเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร เพราะปริมาตรเป็นการวัดปริภูมิสามมิติ

สูตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสและฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรหลักยังคงเหมือนเดิม สิ่งที่เปลี่ยนคือวิธีคำนวณพื้นที่ฐาน

สำหรับพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านฐานเป็น $s$

$$B = s^2$$

ดังนั้น

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

สำหรับพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวฐาน $l$ และความกว้าง $w$

$$B = lw$$

ดังนั้น

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

ทั้งสองกรณีเป็นเพียงกรณีพิเศษของ $V = \frac{1}{3}Bh$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาปริมาตรพีระมิด

1. ใช้ความยาวด้านแทนพื้นที่ฐานทั้งหมด สูตรต้องใช้ $B$ ไม่ใช่แค่ค่าการวัดเพียงค่าเดียวของฐาน
2. ใช้ความสูงเอียงแทนความสูงตั้งฉาก ปริมาตรขึ้นอยู่กับความสูงตรงที่ตั้งฉากกับฐาน
3. ลืม $\frac{1}{3}$ ถ้าไม่ใส่ค่านี้ คุณกำลังคำนวณปริมาตรของปริซึมที่สอดคล้องกัน
4. เขียนหน่วยเป็นตารางหน่วยแทนลูกบาศก์หน่วย พื้นที่ฐานใช้หน่วยกำลังสอง แต่ปริมาตรใช้หน่วยกำลังสาม
5. ใช้สูตรลัดอย่าง $V = \frac{1}{3}s^2 h$ ทั้งที่ฐานไม่ได้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริง

สูตรนี้ใช้เมื่อใด

สูตรนี้พบได้ในเรขาคณิต การวัดปริมาตร งานประมาณการก่อสร้าง และสถานการณ์ใดก็ตามที่ของแข็งสามารถจำลองเป็นพีระมิดหรือรูปทรงที่ใกล้เคียงพีระมิดได้

ถ้าวัตถุมีลักษณะเป็นพีระมิดเพียงโดยประมาณ คำตอบที่ได้ก็จะเป็นค่าประมาณเช่นกัน แต่สูตรนี้ยังมีประโยชน์มากเมื่อคุณต้องการหาปริมาตรแบบใช้งานจริงอย่างรวดเร็ว

เช็กสั้น ๆ ก่อนส่งคำตอบ

ถ้าปริซึมที่มีพื้นที่ฐานและความสูงเท่ากันมีปริมาตร $Bh$ พีระมิดก็ควรมีปริมาตรเป็น $Bh/3$

ดังนั้นถ้าคำตอบของคุณออกมาเท่ากับ $Bh$ มีโอกาสสูงว่าคุณลืมตัวประกอบ $\frac{1}{3}$

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำโจทย์พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน $8$ ซม. คูณ $5$ ซม. และมีความสูงตั้งฉาก $9$ ซม. ให้หาพื้นที่ฐานก่อน แล้วจึงใช้ $V = \frac{1}{3}Bh$

ถ้าคุณอยากลองใส่ตัวเลขของตัวเองและเปรียบเทียบหลายกรณีอย่างรวดเร็ว ให้แก้โจทย์ปริมาตรที่คล้ายกันด้วย GPAI Solver แล้วดูว่าคำตอบเปลี่ยนอย่างไรเมื่อเปลี่ยนเฉพาะพื้นที่ฐานหรือความสูง